Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами

• Автор: Прохоров, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 198 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С МЕРАМИ
§1.1. Введение
§1.2. Предварительные замечания
§1.3. Неравенства Харди с тремя мерами
§1.4. Неравенства для оператора с ядром
§1.5. Случай 0 < р <
§1.6. Весовые неравенства с отрицательными показателями
Глава 2. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ТЕОРЕМ ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА
§2.1. Введение
§2.2. Особенности емкости на действительной оси
§2.3. Критерии вложения
Глава 3. ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
§3.1. Введение
§3.2. Ограниченность
§3.3. Компактность
§3.4. Приложения
§3.5. Операторы Римана — Лиувилля с переменными пределами
Глава 4. ОБ ОПЕРАТОРЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО
§4.1. Введение
§4.2. Основные результаты
Литература
Список обозначений
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами.
Построение Л.Д. Кудрявцевым в 50 - 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С.Л. Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям. Эти неравенства изучались в работах Г. Таленти. Г. Томаселли, Б. Мукенхоупта, Дж.С. Брэдли, В.М. Коки-лашвили, В.Г. Мазьи, А.Л. Розина, А. Куфнера, Э.Т. Сойера, Г.П. Хей-нига, Г. Синнамона, В.Д. Степанова и других авторов, а их дискретные аналоги — Г. Беннетом и М.Л. Гольдманом. Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами. Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова. При этом установился стандарт: форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства. Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, но сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось. В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется.
В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами.

ВВЕДЕНИЕ
Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства
7 тш)' < с и 1/т«*)' + П 1/Г*')'
для всех / € Со°(Л),
выражающего непрерывность оператора вложения типа С.Л.Соболева. Мы рассматриваем случай произвольных мер и Л С М. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера д абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и производная Радона — Никодима неограничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностью меры ц относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В.Г. Мазьи, Э.Т. Сойера, Л.И. Хедберга и других авторов рассматривался только случай, когда /т — мера Лебега,
Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Ри-мана — Лиувилля и его вариантов и оператора геометрического среднего.
Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы.
Основные результаты диссертации
1. Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами. Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями.
2. Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.
3. Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью р € (0,1) относительно непрерывной (неатомической) меры А в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой.
§1.2. Предварительные замечания

принадлежит классу {ШД х 9Лд}+, и удовлетворяет условию: существует константа а > О такая, что к(хх, у) < ак(х2, у) для х < Х2-Тогда следующие неравенства
/ v(x) / k(x,y)u(y)f(y)T(y)dX(y) -J [а,Ь] U [а,х
dp(x)

f fpdX
J [о,ft]
для всех f Е {Ш1л}+ (1.12)

[ Ф) [
J [а,Ь] Ы [а
к(х, y)u(y)g{y) dX(y)
dp(x)

J [а,ft]
gpr~pdX
для всех g Е (9Лл}+.
(1.13)
эквиваленты.
Доказательство. Пусть выполнено неравенство (1.13). Фиксируем произвольную функцию / Е {ШТл}+- Подставляя g = fr в (1.13), получим
( [ v(x) ( [ k(x, y)u(y)f{y)r{y) dX(y)) dy(x))
j[a,ft] [a,x] /
[o,ft] / J[a,b] J
в силу TPT~P < 1.
Пусть выполнено (1.12). Для t Е [а, b] положим
Ft := {х Е [а, t] | т(х) = +оо Л k(t, х)и{х) ф 0}
и Е {t Е [a, b] | X(Ft) > 0}. Так как функция к квази возрастает по первой переменной, то Ftl С Ft2 при t < t2 и функция Л(Ft) неубывающая на [а, Ь]. Поэтому Е борелевское. Если Е — 0, то JEvdy = 0. Пусть Е ф 0. Фиксируем произвольное t Е Е. По лемме [69, лемма 6.9] существует ЗЯд-измеримая функция / такая, что Jja fpdX < +оо и f(x) Е (0,1), х Е [а, Ь]. Тогда

k{t,x)u{x)f{x)r{x)dX{x) = -Ьоо.