Амебы комплексных плоскостей и разностные уравнения

• Автор: Кузвесов, Константин Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 60 с. : ил.

1 Контуры амеб и логарифмическое отображение Гаусса
1.1 Контур компактифицированной амебы гиперплоскости
1.2 Контуры комплексных прямых
1.3 Примеры амеб комплексных прямых
1.4 Контуры амеб для ферматик
1.5 Основная теорема о связи между контурами и логарифмическим отображением Гаусса
2 Критические точки мономиальных функций на алгебраических множествах и асимптотика разностных уравнений
2.1 Критические точки мономиальных функций на гиперповерхностях и логарифмическое отображение Гаусса
2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Теорема о плотности мономиальных функций с морсовскими особенностями
2.4 Многомерные разностные уравнения
2.5 Многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений 1-го порядка
Заключение

Определение амебы алгебраической гиперповерхности было сформулировано относительно недавно в известной монографии Гельфанда-Капранова-Зелевинского [13] (1994 г.). Неудивительно, что ввиду фундаментальности понятия амебы оно могло возникнуть и в более ранних исследованиях, связанных с разложением Лорана рациональных функций многих переменных, либо в попытках описать предельные положения алгебраических множеств [10] (1971 г.).
Пионерскими работами по теории амеб являются статьи Форсберга-Пассаре-Циха [12] (2000) и Михалкина [18] (2000). После этих работ появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб (Михалкин-Рульгорд [19], Энрикес [15], Теобальд [24], Нисс [20]), так и с их применением в теории димеров (Кеньон-Окуньков-Шеффилд [17]), в теории расширений неархимедовых полей (Айнзидлер-Капранов-Линд [11]), и др. Благодаря этим работам получило существенное развитие новое направление — тропическая геометрия (Капранов, Штурмфельс, Михалкин и др.) Недавно, Лейнартасом-Пассаре-Цихом [5] (2005) теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров [9].

Несмотря на обилие работ по тематике, лишь в С2 хорошо исследована структура амеб и развиты методы их построения, а в п-мерной ситуации многие фундаментальные вопросы остаются неисследованными. Например, строение контура амеб даже для плоскостей произвольной размерности пока неизвестно (в данной работе полностью исследованы два крайних случая — размерности 1 и коразмерности 1).
Цель диссертации состоит в описании контуров амеб для поверхностей произвольной коразмерности, их логарифмического отображения Гаусса, а также исследовании критических точек мономиальных функций и приложении полученных результатов к описанию асимптотики решений разностных уравнений.
Исследование контуров амеб комплексных плоскостей проводится с использованием понятия компактифицированной амебы [12] и логарифмического отображения Гаусса [16]. Для формулировки теоремы о контурах амеб произвольных поверхностей понятие логарифмического отображения Гаусса обобщается на случай поверхностей произвольной коразмерности.
Критические точки мономиальных функций исследуются с привлечением теории Морса [6]. В основе исследований асимптотики решений разностных уравнений лежит результат Лейнартаса-Пассаре-Циха — многомерная версия теоремы Пуанкаре для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами [5], а также теория многомерных вычетов и некоторые факты топологии гиперповерхностей в комплексном торе [2].
Перейдем к изложению основных результатов диссертации, опубликованных в статьях [25]—[28].

Глава 2. Критические точки и асимптотика
МНОГОмерНЫе разностные уравнения
Лейнартасом-Пассаре-Цихом в статье [5] было изучено асимптотическое поведение при х —* оо решений
1) систем разностных уравнений
2) скалярных разностных уравнений с постоянными коэффициентами
Для систем (2.3) ими было получено многомерное обобщение теоремы Пуанкаре. Напомним формулировку одномерной теоремы Пуанкаре.
Теорема Пуанкаре [23], [1]. Предположим, что коэффициенты й](х) одномерного разностного уравнения
/(х + к) + ак^1(х)/(х + к~1) + Ьа0(х)/(х) = 0, х є 2, (2.5)
и что корни А) А* предельного характеристического уравнения Р(оо, г) = 0 все различны по модулю.
Тогда для любого ненулевого решения ф(х) уравнения (2.5) предел
существует и равен одному из характеристических корней А^.
Теорема Перрона [22], [1]. Предположим, что выполнены все условия теоремы Пуанкаре для уравнения (2.5), и, более того, что а0(х) Ф 0 для всех гєг. Тогда существуют к решений /і(х) фк(х) этого уравнения, удовлетворяющих
Рфх, 6)ф(х) = ■■■ = Рп(х, 5)/{х) = О,
(2.3)
Р(6)Нх) = 0.
(2.4)
имеют конечные пределы
Ііт а^(х) =: а], ) = 0 к - 1,