Теоремы существования и аппроксимации в некоммутатиивном геометрическом анализе

• Автор: Грешнов, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 332 с.

Содержание
Введение
§ 0.1. Краткая аннотация
§ 0.2. Объект исследований
§ 0.3. Мотивация исследований
§ 0.4. Проблемы
§ 0.5. Краткий обзор содержания диссертации
§ 0.6. Апробация полученных результатов
§ 0.7. Основные обозначения
Глава 1. Динамические системы и координаты
§ 1.1. Динамические системы и их простейшие свойства
§ 1.2. Базисные векторные поля и нормальная система координат 62 §1.3. Динамические системы координат. Примеры
Глава 2. 2-лупы, динамические системы
и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа
§ 2.1. Определения и примеры
§ 2.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для Д-гладких
векторных полей
§ 2.3. 2-лупы, индуцированные Д-гладки ми
базисными векторными полями
§ 2.4. Пример
§ 2.5. Конечномерные группы и алгебры Ли
Глава 3. Базисные векторные поля,
градуированные степенями
§ 3.1. Определения, свойства и примеры
§ 3.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для Дт“^-базисных
векторных полей, градуированных степенями
§ 3.3. Канонические векторные поля
§ 3.4. Градуированные группалгебры Ли. Примеры
Глава 4. Нильпотентный касательный конус
§ 4.1. е-сжатые и ф-однородные векторные поля

§ 4.2. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация
и нильпотентный касательный конус
§4.3. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация
для С1-гладких канонических векторных полей
§4.4. Изоморфизм нильпотентных касательных конусов
Глава 5. Квазиметрики и квазипространства
§ 5.1. Определения и примеры
§ 5.2. Квазиметрики и квазигруппы
§5.3. Базисные векторные поля
и анизотропные метрические функции
§5.4. Квазиметрики и векторные поля,
градуированные степенями
§5.5. Свойство поглощения для множеств Вохсс(р,г)
§ 5.6. Эквивалентные квазиметрики
и билипшицево эквивалентные квазипространства
§5.7. Градуировка векторных полей
и нильпотентный касательный конус
Глава 6. Аппроксимация квазипространств
нильпотентными касательными конусами
§6.1. Некоторые свойства градуированных группалгебр Ли ..
§ 6.2. Локальные аппроксимационные теоремы
для квазиметрик
§ 6.3. Квазиметрики различных нильпотентных
касательных конусов. Примеры
§ 6.4. Компактные квазипространства и сходимость
по Громову — Хаусдорфу
Глава 7. Квазипространства Карно — Каратеодори
§ 7.1. Векторные поля, выражающиеся согласованно
через свои коммутаторы, и сс-соединимость
с4 ссо Квазипространства Карно — Каратеодори,
порожденные липшицевыми векторными полями
§ 7.3. Квазипространства Карно — Каратеодори,
порожденные измеримыми векторными полями

Глава 8. Дифференцируемость горизонтальных
кривых в квазипространствах
§8.1. Сходимость множеств к направлению
§8.2. Горизонтальные и сс-спрямляемые кривые
§8.3. Абсолютно непрерывные горизонтальные кривые
§8.4. Спрямляемость и сходимость горизонтальных кривых
к направлению
§ 8.5. со- и Н-дифференцируемость горизонтальных кривых

Глава 9. Области, удовлетворяющие условиям внутренней и внешней спиралей
§ 9.1. Определения и формулировки результатов § 9.2. Доказательства утверждений 9.1, 9.3, 9.4 § 9.3. Доказательство теоремы 9.
§ 9.4. Условия сс-однородных конусов и области Джона
Глава 10. Вычисления на группалгебрах Карно
§ 10.1. Равномерные области на группалгебрах Карно § 10.2. Шары в метрике Карно — Каратеодори на группагебрах Гейзенберга
Литература
Предметный указатель
Список обозначений

В Главе 4 нами доказаны результаты о существовании в окрест-( ности выделенной точки д € U однородной нильпотентной аппрокси-
мации для базисных векторных полей {^0}г=1,...,лг G Cr(U), градуированных степенями, удовлетворяющих таблице (0.3), при различных показателях г.
; Рассмотрим канонические базисные векторные поля {Xi}i=i,...,n Е
С1 (О), градуированные степенями, удовлетворяющие следующей таблице коммутаторов
[ХиШ^)={ _ Е _ deg Xfc где ö — некоторая окрестность начала координат евклидова пространства PJY, Cfj (ж) 6 С0 (О) — некоторые функции такие, что С-(ж) = 0 в случаях deg Xi + deg Xj < degXfc. Нами доказана следующая
Теорема 4.5. Пусть Е С1 (О) — базисные канониче-
ские векторные поля, градуированные степенями, коммутаторы которых, самое большее, складывают степени. Тогда на некотором множестве Вох(0,£о) С Ö выполняется
(6i/e)* ° Х(8ех) о (5е)* =Де_>0 Х(х),
где е Е (0,1), X = Х(х) е С°°(Вох(0, е0)) — нижнетреуголъпая (N х N)- матрица с диагональными элементами равными 1.
Обозначим г-й столбец матрицы X из теоремы 4.5 через X,. Имеет место следующее
Утверждение 4.7. Векторные поля {-Х)}щ1.......^ являются базисом
левоинвариантных векторных полей градуированной алгебры JIu V нильпотентной степени Т некоторой группалгебры Ли Q при этом на Вох(0,во) выполняется следующая таблица коммутаторов
[£,£,■](*) = ( Е С^Хк){х), Cj = Cj( 0). (4.47)
deg вг+deg Gj =deg ek
Определение 4.4. Векторные поля {Xj}i=назовем канонической однороднощнилъпотентной аппроксимацией канонических векторных полей {-Xi}t==i,...,iv в окрестности точки 0, а соответствующую