О некоторых свойствах непрерывного поливерсума

• Автор: Рябко, Даниил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 68 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Постановка проблемы и литературный обзор

1.2.1 Булевозначный анализ

1.2.2 Непрерывный поливерсум

1.2.3 Изучение векторных решеток средствами булевозначного анализа

1.2.4 Инфинитезимальный анализ

1.2.5 Комбинирование нестандартных методов анализа

1.3 Краткое содержание работы

2 Предварительные сведения

2.1 Топологические пространства и расширенные функции .
2.2 Булевы алгебры
2.3 Векторные решетки
2.4 Булевозначные модели и непрерывный поливерсум
3 Инфинитезимальный анализ в слоях поливерсума
3.1 Критерий счетной насыщенности слоя поливерсума
3.2 Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в
слоях поливерсума
3.3 Нестандартная оболочка нормированного пространства .
4 Изучение векторных решеток синтетическими методами
нестандартного анализа
4.1 Изоморфизм между 314- и Ссх>(<Э)
4.2 Описание свойств /^-пространств в терминах внешних
сечений

4.3 Поточечные критерии
4.4 Таблица существования поточечных критериев
5 Публикации автора по теме диссертации
Литература

1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы. В последние десятилетия в математике все большую роль играют методы булевозначного анализа. Это объясняется, в частности, тем, что они находят широкое применение в исследовании таких классических объектов, как /^-пространства и векторные решетки.
Использование методов булевозначного анализа, возникновение которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по проблеме континуума, уже привело к возникновению новых идей в таких областях математики как теория алгебр фон Неймана, выпуклый анализ, теория векторных мер, теория векторных решеток и /("-пространств.
Особенно возрос интерес к булевозначному анализу в связи с выходом (одновременно на русском и английском языках) книг серии «Нестандартные методы анализа», издающейся под редакцией С.С. Кутателадзе.
Роль булевозначного анализа в развитии современного функционального анализа в основном определяется тем, что он позволяет упрощать многие математические объекты рассматривая их в специальных моделях теории множеств. Так, теорема Гордона утверждает, что произвольное расширенное А'-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел подходящей булевозначной модели, а реализационная теорема Кусраева дает булевозначное представление архимедовых векторных решеток.
Новый этап в развитии этого направления был начат А.Е. Гутманом и Г.А. Лосенковым, предложившими представление произвольного булевозначного универсума в виде непрерывного расслоения (так называемого поливерсума), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функ-

не является окрестностью ТОЧКИ Я-
Случай 2: Пт^ является окрестностью точки я- Поскольку точка д не является (^-изолированной, существует такая убывающая последовательность открыто-замкнутых окрестностей (Ж')„єк точки <7, что ПпбК W^^ Не является окрестностью <7- Без ограничения общности можно считать, что С Пшем А712 всех п Є N. Дальнейшее доказательство сводится к повторению рассуждений для случая 1 с заменой на Ж'.
Необходимость. Пусть <7 — <т-изолированная точка. Покажем, что класс •V не является счетно насыщенным.
Положим и = МА Є С(С2,^V) и пусть Р — элемент ’V, являющийся внутри ’V множеством всех пар (т, у) элементов и(я) = ’К таких, что х фу. Покажем, что отношение Р не является счетно насыщенным.
Очевидно, |= ((Н,9(п + 1)),..., (,п,,(п + 1)) Є Р) для всех п Є N. Предположим вопреки доказываемому, что существует элемент у Є и(?)-1ч удовлетворяющий соотношению чп Ф у для всех п Є N. Проведем через у сечение н € С(д,«У). Тогда
я Є 11« Є иII = У II» = пл|| = СІ У Ці? = пА||.
п€К пек
Поскольку для каждого т Є N точка я не принадлежит и„<т ||н = пА||, мы заключаем, что я 6 сіи„>т ||и = «А|| =: Жт для всех т Є ^ т.е. я Є ПﻈИ^"*- С другой стороны, используя попарную дизъюнкт-ность множеств ||г = пЛ|| (п Є N5, нетрудно показать, что пересечение не является окрестностью точки д, и, тем самым, получить противоречие с ст-изолированностью ТОЧКИ Я. □
Предложение 3.1.2. Для любого множества С С ’V существует элемент С Є ’V такой, что С С С4-.
Доказательство. Проведем через каждый элемент с Є С сечение ис Є С(Я, «V) и положим и = {ис | с Є С}Г. Ясно, что элемент С = и(я) является искомым. □