Базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора со ступенчатой весовой функцией при старшей производной

• Автор: Ефремов, Игорь Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 113 с.

ГЛАВА I Условия В1гкоГ£-регулярности §1. Основные понятия, определения и вспомогательные
результаты

§2. Характеристический определитель А{р)

2.1 .Характеристическая система уравнений

2.2.Главная часть определителя А(р) при п = 2/и

2.3.Главная часть определителя А(/>) при п = 2/л

§З.Асимптотика собственных значений В1гко1Т-регулярного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями

3.1 .Асимптотика собственных значений при п = 2/и

3.2. Асимптотика собственных значений при п = 2/и-

ГЛАВА II Поведение функции Грина

§1.Построение функции Грина, понятие регулярности

§2. Поведение функции Грина при р -» да
2.1. Регулярность при п-2/л
2.2. Регулярность при п = 2/и

§3. Контрпример
3.1. Постановка задачи
3.2. Характеристический определитель Л(р)и функция Грина
3.3. Оценка функции Грина
ГЛАВА III Условии базисности Рисса §1. Собственные функции
1.1. Асимптотика собственных функций при п = 2/л
1.2. Асимптотика собственных функций при п- 2р
§2. Полнота собственных и присоединенных функций
§3. Теорема базисности Рисса собственных и присоединенных
функций
Литература

Большое число задач математики, механики и физики приводят к спектральному анализу дифференциальных операторов. Спектральный анализ операторов включает в себя решение вопросов о распределении собственных значений, поведении собственных и присоединенных функций, разложении произвольной функции в ряды по собственным и присоединенным функциям, полноте и базисности собственных и присоединенных функций, равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям и по известным системам функций. Такого рода задачи возникают, например, при обосновании метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики.
Задачей разложения по собственным функциям линейного' дифференциального оператора «-го порядка на отрезке [0, 1], порождаемого дифференциальным выражением вида:
1(у>у{а) +Г(х)у{п~1) +...+ /„(х)у (0.1)
и линейно-независимыми краевыми условиями:
и,(у) = £ ацу1я-'>(0) + £ Ь0у(п~л(1) = 0, / = 1,2 « (0.2)
>=1 у
одним из первых занимался О.О.Впк1к^ [1-2]. Определив условия регулярности, путем установления требований на коэффициенты линейных

Sf c //^ = /•/,(5;), я/(2п-,) = я/(5;),|
, где / = 0,1 л«
Теореімаі.1 .Пусть п = 2/j, argr.—argrj ^ 0, для / ^ j ,0< arg /;, arg гj < 2,т,
тогда оператор Birkhoff-регулярный оператор К, определяемый (1.1)-(1.3) 2(т+1) последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы:
л(р =(р{р]Т, =(pf)n, где / = 0,1,..„от,/? = 1,2,
рУ>= + -щ^ +М,° (L55>
Кі “в/) < («/+i-a/)
(/) = 1п„ Я/2""') ± W + £(/) (1 56)
при n=4q в формуле (1.55) берем “~”;в формуле (1.56) берем “+ ”, при n=4q+2 в формуле (1.55) берем “+ ”;в формуле (1.56) берем где (oüJ- корень п-ой степени из числа (-R^, занумерованный для сектора S0(Rt),
coln-l)- корень п-ой степени из числа (-Rt), занумерованный для сектора S2n_](Rl),
hip = о(1), hp ) = о(1) при р -> оо.