Разделенная алгебра Брауэра и простые блуждания по градуированным графам

• Автор: Никитин, Павел Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 87 с. : ил.

1 Конечномерные алгебры Брауэра
1.1 Определение алгебр Брауэра
1.2 Определение алгебр Тураева
1.3 Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра
1.4 Образующие и соотношения для алгебры Нкд(п)
1.5 Конструкция Джонса, теория представлений алгебр Брауэра
1.6 Построение полинома размерностей
1.7 Описание представлений и ветвления для алгебр Нк,і(п)
1.8 Реализация неприводимых представлений алгебры Брауэра
1.9 Характеры неприводимых представлений алгебры Брауэра
1.10 Реализация неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра
1.11 Характеры неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра
2 Бесконечномерные алгебры Брауэра
2.1 Определения и теоремы из теории л.п.п. алгебр
2.2 Паскализация графов и л.п.п. алгебры Вг^, Вго0>Рагіто
2.3 Теорема о центральных мерах на паскализованном графе
2.4 Описание характеров алгебр Брауэра
2.4.1 Характеры алгебры Вгоо
2.4.2 Характеры алгебры Вгоо)00
2.5 Замечания о К0-функторе
2.5.1 Группа инфинитезимальных элементов
2.5.2 Группа размерностей Ко{Вг00)
2.5.3 Группа размерностей К0(Вгоа<Ой)

А Реализация некоторых представлений группы 5
А.1 Двустрочечные диаграммы
А.2 Доказательства
А.З Диаграммы в форме крюка
Список литературы
Ч'і

Диссертация посвящена исследованию одного класса локалыю-полупростых алгебр — алгебр Брауэра и близких к ним — возникших в теории классических групп и в современных исследованиях квантовых групп.
История возникновения этих алгебр такова. Пусть классическая группа (GLn(С), 0„(С), Spn(С)) действует в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим диагональное действие этой группы в тензорном произведении V®!, определяемое формулой
А ■ («1 <8>... Vf) = Av .. • ® Avf.
Если мы рассмотрим действие симметрической группы1 Sf в этом же пространстве,
о ■ (vi ... ® Vf) = (rv(i) ® ... ® a e S/,
то несложно проверить, что построенные действия групп GLn(С) И Sf коммутируют. На самом деле справедливо намного более сильное утверждение, именно, как доказал в в 1901 году И. Шур в своей диссертации [39], эти действия порождают коммутанты друг друга. Этот факт носит название двойственности IUypa-Вейля и является одним из центральных фактов теории представлений обеих групп.
Например, вопрос о разложении диагонального действия полной линейной группы в End(H®^) на неприводимые компоненты сводится к описанию коммутанта С/(Gln(С)) образа этого действия [1]. Соответственно, тот же вопрос для ортогональной группы приводит нас к рассмотрению алгебры Cf(On(C)). Однако, по выражению Г. Вейля, эта последняя алгебра является "несколько загадочной", что вынудило его прибегнуть при исследовании действия ортогональной группы к другим методам.
Для изучения коммутанта С/(Оп(С)) Р. Брауэр [15] в 1937 году ввел ассоциативную алгебру диаграмм Вг/(п) и гомоморфизм
Ьг : ВгДп) СДОДС)).
Определение алгебры ВгДп) (алгебры Брауэра) имеет смысл при любом п 6 С, причем при достаточно больших по модулю числах п € Z
*В теории алгебр Брауэра принято буквой п обозначать параметр алгебры (размерность пространства У), а число тензорных сомножителей — буквой /. Поэтому для симметрической группы используется несколько непривычное обозначение Sf.
Глава 2. Бесконечномерные алгебры Брауэра
этой и.с. в категории С*-алгебр. Построенная алгебра А является пополнением алгебры Аоо по (Д-норме, т.е., AF-алгеброй, построенной по и.с. ф {А/}. Как показал Браттели, связь между AF-алгебрами и их плотными
л.п.п. алгебрами однозначна, с точностью до изоморфизма.
Теорема 2.1.1 (Браттели, [12]). Если AF-алгебры А и В изоморфны (как С*-алгебры), то л.п.п. подалгебры A» и ßl0O также изоморфны.
Состоянием AF-алгебры А называется такой линейный функционал Ф : А —> С, который
1. положителен: Ф(аа*) ^ 0 при всех а е А,
2. нормирован: Ф(1) = 1.
3. Если, кроме того, функционал централен: Ф (ab) = Ф (Ьа) для всех а, b € А, то Ф называется (конечным, нормированным) следом.
0 Обозначим через Char(A) = СЬаг(Г(Л)) множество следов алгебры А.
Неразложимым следом или (конечным) характером называется след, непредставимый в виде нетривиальной выпуклой комбинации следов. Следы образуют симплекс Шоке, неразложимые следы составляют у границу Шоке. Описание характеров — одна из основных задач при описании AF-алгебры.
Для описания характеров мы будем использовать следующую теорему (см. [5]):
Теорема 2.1.2. Для любого характера алгебры А = C*(UjL0Af) существует путь (АДу10 в диаграмме Браттели, для которого
ф(а) = lim рА, п-уоо dim А
для всех a G А. Здесь хХ/ ~ характер представления А/, dim А/ — размерность представления.
Нам понадобится понятие пути s в графе ветвления Г,
s = (к0 Д л1 Д Д 1Д Д 6 А).