Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами

• Автор: Рахматуллина, Жанна Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Содержание
Введение
§ 1 Краткая история вопроса и исследуемые проблемы
§2 Обзор результатов и постановка задач
§3 Обозначения и основные результаты
Глава I. Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера
§1 Предварительные сведения
§2 Характеристики распределения вещественных последовательностей
§3 Примеры
Глава II. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке
§1 Вспомогательные результаты
§2 Оценка Мр(<т) через минимум модуля на отрезке
§3 Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе
отрезков
§4 Правильный рост ряда Дирихле на компактах, близких
к отрезкам
Глава III. Множество нормальности семейства итераций целой функции
§1 Определения и вспомогательные леммы
§2 Ограниченность компонент множества Фату
§3 Существенность условия Фейера
Литература

Введение
§1. Краткая история вопроса и исследуемые проблемы
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полна, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А.Ф. Леонтьев, М.Н. Шеремета, А.М. Гайсин и другие.
Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию
В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция
имеет лакуны Фейера, если последовательность 5'(/)
{п: сп 0, п 1} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида
f(z) = 2 anZpn (Рп € N, 0 < рп t оо, ап — сРп ф 0). (0.3)

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1].
(0.1)

(0.2)

Этот интересный факт и другие соображения всегда наводили на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см. обзор, например, в [2]). Отметим, что условие (0.1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (0.3) в самой общей ситуации, то есть без никакого ограничения на рост.
Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (Q.3) впервые была рассмотрена Полна в [3). При этом предполагалось, что сумма ряда имеет конечный порядок.
Им же в [3] была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (0.3) имеет конечный порядок и п — о(рп) при п —» оо, то
— ln m(r,f)
lim —Т77 TT
r-+.oo ln M (r, /)
= minl/Wi-
z=r
Гипотеза Полна была доказана Фуксом [4]. Однако оставался открытым вопрос о существенности условия п = о(рп) при п —» оо. Для целых функций, конечного и конечного нижнего порядка задача полностью решена Скаскивым О.Б. в [5]. В работе Гайсина А.М. [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.
Задача Полна, когда функция f(z) имеет бесконечный нижний
где М(г, /) = max f(z) и т(г, /)
z=r
Воспользуемся теперь леммой 1, полагая а = 2Т Тогда
Следовательно,
4JwGj) '
Учитывая (1.5) и последнюю оценку, из (1.7) имеем
/л(ю) < 8/л(ЛГ) + 8 In2 i SA <

Значит, из в) следует г), и все доказано.

Полезным дополнением к теореме С является
Теорема 5. Верны утверждения:
1. Функция ио принадлежит И7 (или Тт) тогда и только тогда, когда функция Аи>{В1) + С принадлежит У (или Ут). Здесь А, В, С — положительные и конечные постоянные. Аналогичное утверждение справедливо и для класса ТТ) (или
2. Функция ю Е Ь принадлежит классу ¥ (или Ут) тогда и только тогда, когда
Аналогичное утверждение верно и для класса Wi (или Wim);
3. Для любой функции w G L интегралы
Wlm);