Некоторые вопросы векторного интегрирования и операторной двойственности

• Автор: Глазырина, Ирина Петровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. ОПЕРАТОРНО СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО К
ПРОСТРАНСТВУ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ II
§ I. Пространство интегрируемых векторных
функций
§ 2. Свойства векторного интеграла
§ 3. Операторно сопряженное пространство к

§ 4. Теорема Радона-Никодима
Глава II. ДИСПЕРСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЙ МЕРЕ
§ I. Представление ограниченных операторов
дисперсными интегралами
§ 2. Приложения к теории субдифференциалов
ЛИТЕРАТУРА

Теория упорядоченных векторных пространств была создана в середине 30-х годов математиками ленинградской школы во главе с Л.В.Канторовичем. Характерной чертой развития этого направления являются тесные и плодотворные связи с другими разделами анализа. Наличие естественных порядков в классических объектах анализа привело к активному взаимодействию теории упорядоченных векторных пространств с различными разделами математики. В результате появились новые теоретические конструкции и многочисленные приложения к теории операторов, выпуклому анализу, теории экстремальных задач и т.д. Соответствующие обзоры имеются в работах £2,6,8,9,25,27,28, 49,54,58,59,62-64,66,67]
Одной из классических, традиционных задач функционального анализа является задача отыскания общего вида различных классов линейных операторов и функционалов, причем для последних ее решение в классических пространствах есть интегральное представление в той или иной форме. Для аналитического представления линейных операторов "скалярных" интегралов в принципе недостаточно. Еще в тридцатых годах появились векторные конструкции интеграла в банаховых пространствах в работах Бохнера [71] , Данфорда [75] , Петтиса [89,9б] и др. В настоящее время банахова теория векторного интегрирования достаточно развита и хорошо освещена в монографической литературе [20,70,72,74,91] . Задачи аналитического представления линейных операторов и векторного интегрирования занимают важное место и в теории упорядоченных векторных прост-

ранств. В последние года появилось большое число работ, посвященных этим вопросам. Отметим лишь те из них, которые идейно наиболее близки данной работе [3-7,12,35-37,42,65, 83,84,93-98] . Основные обзоры даны в [9,27,85] . Одновременно появились такие объекты упорядоченного анализа, которые не поддаются описанию в рамках банаховой теории двойственности, и в то же время для них имеет место естественная операторная двойственность.
В начале семидесятых годов Г. П.Акиловым была высказана идея построения теории векторной двойственности на основе пространств Канторовича. Варианты векторной двойственности уже возникали неявно при решении различных аналитических задач [3,59,85] . Одним из первых объектов векторной двойственности были пространства с разложимой векторной нормой, введенные Л.В.Канторовичем в 1939 г. [78] , (см. также 26 ) Он же изучал вопрос разрешимости операторных уравнений в таких пространствах. В последние годы стимулом для развития аппарата векторной двойственности явились попытки распространить на случай многоцелевых экстремальных задач методов линейного и выпуклого программирования. Аналитические средства для такой теории возникли, в частности, с изучением сублинейных операторов и операторно выпуклых множеств. Важную роль здесь сыграли работы В.Л.Левина [59-62] , А.Г.Куе-раева 32-35, 41-43] , С.С.Кутателадзе [52-56] и А.М.Рубино-ва [66, 67] и др. (см. также [45-50, 58] . Общая теория двойственности пространств Банаха-Канторовича сформировалась в работах А.Г.Кусраева [34-37, 42] . Стоит отметить широкое использование метода булевозначных моделей [24] в большинстве перечисленных работ. На возможность применения

Ті, Ті 6- і1(р, В)* . То
-г^ГіЬ іп4{еч?: ІТ,т Ті 00] ^ер(х)^ і Іп4{ 1%(х)!*?<р(х)} +
+ іи| {еА«Д- ІТД(®; І 4 е*р(х)і = г(Т,) + г(ъ)
Если же г(Т)^Єі*ел,1 ЄСЄЕСі-І.І)
то найдутся такие ортоморфизмы оі^ 8 [О, І] (І - то-ждественный оператор в В- ), что
Взяв Т( = С(;Т , получим Т(Т, ) = <*; (і = і,2) , что и 03начает разложимость нормы £ . Монотонность нормы очевидна. Таким образом, ( Е1 ([/>£)* } і) - это К. -нормированная решетка. Оказывается, что это пространство к тому же
(4о) -полно, то есть является пространством Банаха-Канторовича. Установим более общий факт:
ТЕОРЕМА 1.3.8. Если X - И -нормированная решетка, нормированная посредством ІІ -пространства Е , то его сопряженное, т.е. пространство ^Х,Е) (Єо) -полно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся критерием - полноты (см. введение). Покажем вначале, что пространство СХ, Е) ($г) -полно. Пусть /7 і А / -8 г. - фундаментальная
сеть в і £ (X ё) . Это означает, что
т| { е 6 Г : 1тл л-тп Л | С ерш ] О