Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра

• Автор: Пирметова, Саида Ямудиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 118 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Смешанные ряды по полиномам Лагерра
1.1 Основные свойства полиномов Лагерра
1.2 Дальнейшие свойства полиномов Лагерра
1.3 О рядах Фурье-Лагерра
1.4 Смешанные ряды по полиномам.................Лагерра
1.5 Операторы £“+г(/)
1.6 Операторы £%+г(/) и классы ЩА.а+т_г)
1.7 Смешанные ряды в случае а =
ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра С^(х)
2.1 Введение
2.2 Вспомогательные результаты
2.3 Аппроксимативные свойства операторов £®+г(/)
на классах Жг(0, оо)
2.3.1 Оценка функции Лебега 1тп{х) на (Д
2.3.2 Оценка функции Лебега £„(ж) на б?
2.3.3 Оценка функции Лебега 1гп{х) на 6?з
2.3.4 Оценка функции Лебега 1гп{х) на
2.4 Оценка снизу функции Лебега 1гп{х) при х —
СПИСОК ЛИТЕГАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы.
В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название "Смешанные ряды", следуя работам Шарапудинова И.И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Л“(ж) при а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.

В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Ла-герра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, раесмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.
Объект исследования.
В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0;оо), изучаются их частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х € [0;оо).
Цель работы.
1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0; со) и изучить их свойства.
2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.
3) Получить оценку функции Лебега 1гп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра.
Общие методы исследования.
В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна.
Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0; оо), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.
Практическая ценность.

Доказательство. Убедимся сначала в справедливости верхней оценки (1.3.9). С этой целью обратимся к неравенству (1.2.33). Тогда из (1.3.8) имеем

Л“(0) < с{а) J tae-t/2A%+1(t)dt. (1.3.10)

Разобьем интеграл (1.3.10) на части по следующей схеме

/ tae-^2A^+t)dt = G + сг2 + сг3 + сг4 -р сг5, о
где в силу (1.2.34)

<71= J tae~t^2A®+1(t)dt < с(а), о

/ tae-ll2A^t)dt < c{o)sa+l/2,

s_sl/
a3 = f tae~t/2A%+1{t)dt < c(a)sa+1/2,

S+S1/
cr4 = J tae~t/,2A^+1(t)dt < c(a)sa,
S—S1/

сг5 = y taé~t/2A<^+l{f)dt < c{a)sa+1//2,

а6= / ^e-t/2A“+1(i)^ < c(a)sQe-5s,

Сопоставляя (1.3.11)-(1.3.17) с (1.3.10), приходим приходим верхней оценке (1.3.9). Чтобы доказать нижнюю оценку (1.3.9)

S—S1/
1.3.11)
1.3.12)
1.3.13)
1.3.14)
1.3.15)
1.3.16)
1.3.17)