Теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи

• Автор: Попов, Николай Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 87 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Неравенства изопериметрического типа в экстремальных задачах при конформном отображении
§1. Экстремальные задачи для площадей при конформном отображении единичного круга
§2. Минимизация площадей при конформном отображении кольца и
круга с концентрическими разрезами
§3. Неравенства изопериметрического типа с применением к
оценкам конформного радиуса
§4. Об условиях звездообразности аналитических функций с ограниченной кривизной образа границы
Глава II. Теоремы единственности
§5. Исследование экстремумов конформного радиуса
§6. Метод подчиненности при локализации максимума конформного радиуса
§7. Точные оценки для функционалов при использовании условия
подчиненности
§8. О единственности решения внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации рассмотрены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и их приложения . Доказаны теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи
Понятие конформного радиуса односвязной области введено Д.Пойа и Г.Сеге в известной работе „Задачи и теоремы из анализа”, впервые вышедшей в 1925 г. ( см . [35 ] ) . Это понятие определяется следующим образом. Пусть D - произвольная односвязная область плоскости w, имеющая более одной граничной точки, <о - произвольная конечная точка области D. По теореме Римана о конформном отображении ( [17 ], с. 29-32 ) существует единственная функция z = F(w), регулярная в D, нормированная условиями F(co) = 1 = 0 и однолистно отображающая область D на круг
z) и называется конформным (внутренним ) радиусом области D в точке а>.
Интерес к этому понятию возник из-за его связи с другими характеристиками области D ( трансфинитным диаметром, площадью области, длиной ее границы и другими ). Взаимосвязи такого типа в форме оценок изопери-метрического характера нашли отражение в монографии [36]. Исследование точности этих оценок привело к необходимости изучения экстремальных свойств участвующих в них величин
В работе „Задачи и теоремы из анализа” рассматривались простейшие свойства экстремума R(D,a>), а систематическое их описание было предпринято в статье Г. Хиги [56]. В ней, в частности, получена формула для вычисления конформного радиуса
ВД = = |/'Ю| (1 - ) <0.1 )
где f(Ç) - функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = {£: |£|<1} на область D = f{E). При этом конформный радиус (0.1) интерпретировался как поверхность над кругом Е или обла-
стью О, и исследовался геометрический характер ее критических точек, т.е. точек + г/?0 е ’ ДЛЯ которых выполняются условия
= 0 ,С=£+щ. (0.2)
<г=а
В [56 ] было получено и первое достаточное условие единственности критической ТОЧКИ Я(ДбУ) - выпуклость области О, отличной от полосы, - которое в дальнейшем передоказывалось другими способами ([54], [4], см. также [36], с. 211-214).
Можно отметить два направления, по которым развивались исследования экстремальных свойств конформных радиусов : 1) получение оценок указанных величин и их применения в различных неравенствах геометрического и физического содержания и 2) выделение классов областей, обеспечивающих единственность экстремума конформного радиуса, и выяснение условий, приводящих к нескольким критическим точкам . Развитие и современное состояние первого направления в связи с экстремальными задачами геометрической теории функций отражено в монографиях [44], [17], [18], [26], [32] и [31] . Использование оценок конформных радиусов в теории потенциала и их распространение на многомерный случай описаны в [49].
Первое направление характеризует в основном применение конформных радиусов в математической физике ([36]), второе же существенно связано с исследованием внешней обратной краевой задачи по параметру э, а также задачи удержания плазмы магнитным полем (см. [43]).
Теория обратных краевых задач ( ОКЗ ) для аналитических функций, становление которой связано с именами Г.Г. Тумашева, М.Т. Нужина и Ф.Д.Гахова ( см . [42] и [16] ), в настоящее время имеет многочисленные применения в аэрогидродинамике, теории фильтрации и математической физике . Развитие и современные достижения этой теории отражены в монографиях [42], [34], [41], [19] ,а также в обзорах [2], [6], [3].
Обратная краевая задача по параметру э в постановке Ф.Д. Гахо-

6) q{az) монотонна и непрерывна на ( 0,+оо ) как функция от а, причем
lim q(az) = 0, lim q{az) = +°о.
а—>+0 а—>+ао
Пусть, далее, Ф0 - множество функционалов Ф(г;/) на А ( при фиксированном z еЕ ),таких, что
i) для любой функции / е А Ф(г;/) регулярна в Е как функция от z
и Ф(0;/) = 0 ;
и)для любой функции / еА из ядра Кег Ф(z;/) функционала Ф(г;/) (т.е. Ф(z;/) = 0 ) имеет место равенство .£(/)
Для Ф е Ф0 и qeH определим множество
Х(Ф ,q) = {х > 0: Ф(г;/) -< F(z), zeE, F еМ0, f еА, q(F) <х=> =>K(f)= 1} (3.7)
и функционал д*:Фо -» [0,+°°]. действующий по формуле
q*(0) = SUpX(0,q). (3.8)

Замечание 3.1 . Вместо неравенств ( 3.5 ) можно взять более широкую цепочку ([36], с.28 )
r(F)X < - p(F) < л
-ct(F)

< r(F)x <

(3.9)
где р() - жесткость кручения области Е{Ё) и г(Е) = НттЧ/)

(Ег(г) - Е(гг), 0 < г < 1) - внешний радиус области Р(Е) ([36], с. 18-19 ).
В качестве функционалов д будут выступать участвующие в системе неравенств ( 3.5 ), т.е., например, не сама площадь а, а выражение — сг или

, если рассматривать цепочку неравенств ( 3.9 ) . Таким образом,

нам потребуется, скажем, переход от функционала q , где q = — а, к