Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций

• Автор: Шамбилова, Гулдарья Эрмаковна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ §1.1. Редукционные теоремы для монотонных операторов .. 22 § 1.2. Весовые оценки одного класса квазилинейных
операторов
Глава 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ § 2Л. Дискретные и интегральные критерии ограниченности квазилинейных операторов на конусах монотонных
функций
§ 2.2. Прямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных
функций
Глава 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ
§ 3.1. Квазивогнутые функции
§ 3.2. Неравенство Харди на конусе квазивогнутых
функций
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Неравенство Харди и его приложения положили начало новому направлению в изучении неравенств в классическом анализе, относящееся к дифференциальным и интегральным уравнениям.
В 1925 г. Г. Г. Харди [39] получил следующий результат:
Пусть р > 1, / > 0 и /р - суммируемая функция на (0, оо). Тогда выполнено неравенство
(ГЫ'Н<-МГ^-
Эта первоначальная форма интегрального неравенства Харди позже была существенно обобщена. Ниже мы приводим основные факты развития теории.
Пространство Лебега 1Ри{а, Ь), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций, таких что
11/11« := 0^ №ЧФ*) <
при 0 < р < оо и
е85 5ир|/(х)|и(т) < ОО.
а<х<Ь
Здесь и(х) > 0— измеримая весовая функция. Для краткости мы часто будем писать ^/а& |/|рн^Р. Весовое интегральное неравенство типа Харди в пространстве Лебега имеет вид
г , г
а 6 I гх ? , / пЬ р
У /(*)<Й и(х)с1х <СП |/М , (0.0.1)
где —оо < а < Ь < оо, 0 < у < оо, 1 < р < «оо, и, и— измеримые весовые функции, положительные почти всюду на (а, Ь). Задача характеризации данного неравенства состоит в нахождении необходимых

и достаточных условий (критериев) на весовые функции или для выполнения неравенства (0.0.1). Эти критерии для различных значений параметров р и д можно найти в работах [48] [42], [6], [49], [58], [57], [64].
Обозначим р' := ^ при 1 < р < оо, р' 1 при р = оо и р' := оо при р = 1. А также мы пишем А ^ В, если С1А < В < С2Д где константы с, зависят только от параметров суммирования.
Теорема А. Для наилучшей константы в неравенстве (0.0.1) выполнена оценка С « Ai, г = 1,2,3, г
Аг := Бир [ / гг ] ( / г;1 ^ ] < оо,
а<х<Ь
{I, “)’ (Г”
(гг) при 0<<7<р<оо, O<<7 Лг-{К1“У{£'’'~*Уи(х)х
(т) при 0 < д < 1 = р
< оо,
Аз := [ / I еББ вир т-т [ иВ)(И
Л I. асгс* н(0 л

и(х)с1х ]
Аналогичные критерии были получены для двойственного неравенства, которое имеет вид:
(гЬ гЪ 1 я / гЬ р
J у /(£)<& и(х)йх) < С ( у |/(х)|ри(а;)о!;г) ,
Пусть 0 < р < оо и ш(х) > 0 измеримая весовая функция на [0;+оо). Пространство Лоренца Ар(ш определяется в виде

ковского при — ^ 1, получаем
т £/•
/п« &У
- (Г”м (? Г'!
іЧ(?/Ч
Г*"Ь)[? (Г^У
Е (/°° »(у) (уГ /««)9 йу) * = Е р •
Далее, применяя теорему 3.1 из [38], утверждение теоремы следует пересчетом соответствующих функционалов. □
Оператор 5.
Сначала укажем критерии дискретного типа.
Теорема 2.4. Пусть 1 < р < оо, 0 < д, г < оо, - := (---------) .
« г Р/ +
Пусть 0 < /д р < оо, х 6 (0, оо), /0°°р = оо и последовательность {ап} С (0, оо) определена из уравнений /0а"р = 2", п Є Ъ. Положим Ап := [а„,ап+і). Тогда для наилучшей константы С в неравенстве (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) выполняются оценки С ~ Аі + Ві, где
1) р = 1, 0 < <7, г < оо.

2) 1 < р ^
пСЪ '''Л'