Оценки операторов дифференцирования и вложения в пространствах де Бранжа и коинвариантных подпространствах оператора сдвига

• Автор: Баранов, Антон Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с.

Введение
Оценки нормы производной черюз норму функции в различных функциональных пространствах - одна из классических тем теории функций. Оценки такого рода часто называют неравенствами (типа) Бернштейна. Они имеют многочисленные приложения в различных областях математического анализа, и им посвящена обширная литература. В настоящей работе рассматриваются неравенства Бернштейна для БЛнорм в некоторых пространствах целых или мероморфных функций. Классическим результатом в этом направлении, послужившим основой для многочисленных обобщений, является неравенство С.Н. Бернштейна для пространства Пэли-Винера - пространства целых функций экспоненциального типа не выше о, сужение которых на вещественную прямую К. принадлежит Ц3(Ж).

Теорема А [13]. Пусть 1 < р < оо. Тогда для всякой функции Р

П1р< «Наследующее красивое и глубокое обобщение теоремы А для случая р — оо было получено Б.Я. Левиным.
Теорема В [9]. Пусть Е - целая функция класса Полиа (см. определение в %2.1), и пусть Т - целая функция экспоненциального типа такая, что

тах[|Р(г)|,|К(г)|] < Е{г), геС+, (1)

где С+ - верхняя полуплоскость. Тогда

тах[|К'(г)|,|К'(г)|] < Е'(г), г £ С+.

Пусть теперь целая функция Е удовлетворяет неравенству

Е(г) > Е(г), ге€+. (2)

Обозначим через 'НХ‘(Е) множество целых функций К, для которых имеет место оценка (1) (наделенное нормой Ц/Цдоо = ЦК/ВЦтоди), Н°°(Е) становится банаховым пространством). Из теоремы В немедленно вытекает (см. [4]), что оператор Т> : / ьэ К' ограничен на тогда и только тогда, когда
функция ограничена в верхней полуплоскости.
В диссертационной работе рассматривается аналогичная задача для V-норм. А именно, пусть Др(£/) обозначает пространство целых функций /(таких, что Р(Е и Е*/Е принадлежат классу Харди ДР(С+) (здесь К*(г) = Е(1))

с нормой IIFIIb,, = \F/E\Lt(щ. В настоящей работе найдены условия, необходимые и достаточные для ограниченности оператора D в пространстве КР(Е), 1 < р < оо. При этом, эти условия существенно зависят от показателя р. и, в отличие от случая р — оо, условие Е £ Н°°(С+) не является необходимым в общем случае; однако, оно становится необходимым и достаточным при дополнительных предположениях о нулях функции Е. Отметим, что пространства НР(Е) включают в себя как частный случай пространства Пэли - Винера PWP (при E(z) — ехр(—iaz)).
Особый интерес представляет случай р = 2; при этом пространства 1Е2(Е) суть гильбертовы пространства целых функций, введенные JI. де Бранжем [26]. Пространства де Бранжа имеют важные приложения в теории дифференциальных операторов и математической физике. В то же время имеется ряд работ, где пространства де Бранжа рассматриваются с точки зрения ’’чистой” теории функций [34, 35].
Другое обобщение теоремы А связано с так называемыми модельными подпространствами - коинвариантными подпространствами оператора сдвига. Пусть 0 - внутренняя функция в верхней полуплоскости С+, то есть ограниченная аналитическая в С+ функция, граничные значения которой почти везде равны по модулю единице. Каждой внутренней функции 0 соответствует подпространство Kq = Нр П <ЭНр - коинвариантное подпространство оператора сдвига в классе Харди Нр в верхней полуплоскости, 1 < р < ос. Подпространства Kq играют исключительно важную роль в современном анализе, как в теории функций так и в теории операторов. С подпространствами Kq и их многомерными и бесконечномерными обобщениями связана функциональная модель Секефальви-Надя - Фойаша для операторов сжатия [12] (поэтому эти подпространства иногда называют модельными).
Если 0 = 5- произведение Бляшке с нулями {zn}, то модельное подпространство Кд совпадает при 1 < р < оо с замыканием в пространстве Lp{Ж) правильных рациональных дробей с полюсами в множестве {z„} в нижней полуплоскости. С коинвариантными подпространствами тесно связано также пространство Пэли - Винера PWp. А именно, если 0(z) = ехр(гог), о > 0, то А'Р = PWp ГНр.
Рассмотрим оператор дифференцирования Z? : / /', / £ Kq. В работах
K.M. Дьяконова [6, 28] было получено описание внутренних функций 0, для которых оператор D ограничен как оператор из Kq в 1?(Ж), то есть имеет место неравенство Бернштейна (для некасательных граничных значений)
|1Я1?<с(р,е)Ш„ /.€*!, (3)
а также изучены условия компактности оператора D и его включения в идеалы

Шаттена - фон Неймана [28, 29].
Теорема С [6]. Пусть 1 < р < оо. Следующие утверждения равносильны:
1. Оператор D : —у ЬР(Ш) ограничен;
2. 0' € L°°(3R) (Я°°(С+)).
При этом найдется такая константа С = С (р), что
||/% < cWQ'uifll, ft К-
Условие 0' £ Х°° влечет, что внутренняя функция 0 мероморфна на всей плоскости С; из известных свойств псевдопродолжимости элементов модельного подпространства следует, что всякая / £ Kq - мероморфна.
Для случая р = оо более сильное неравенство было получено М.Б. Левиным [10]. А именно, для всякой мероморфной внутренней функции
ll/70'llco < II/IU, / G Kq. (4)
Для случая, когда 0 - конечное произведение Бляшке, неравенство (4) было доказано в работах П. Борвейна и Т. Эрдейи [19, 20], а также К. Ли, Р.Н. Мохапатры и P.C. Родригеса [32]. Отметим, что другие весовые оценки для производных в модельных подпространствах были получены в работах [24, 27].
В настоящей работа получены аналоги весового неравенства Бернштейна (4) для 1/-норм. Нас интересуют неравенства вида
||/4Ip где вес w связан с функцией 0 (например w = |0'|-“). В частности, если 0' 6 L°°, то неравенство (5) имеет место для w = |0'|_о, где а < 1 — При этом показатель 1 — ~ в определенном смысле точный. В то же время мы получим варианты весовых неравенств вида (5) и для случая, когда 0' ^ Ь°°, а оператор D не ограничен.
Отметим, что имеется тесная связь между пространствами целых функций W{E) и коинвариантными подпространствами оператора сдвига, порожденными мероморфными внутренними функциями. А именно, в силу условия (2) функция ©д = Е*/Е - внутренняя, и W{E) = Е ■ К@Е; более того, всякая мероморфная внутренняя функция представима в виде отношения Е*/Е, где целая функция Е удовлетворяет условию (2). Но, несмотря на тесную связь пространств W{E) и Kq , имеется существенная разница между поведением операторов Т> и D. Хотя ограниченность оператора V налагает в целом более жесткие ограничения на распределение нулей функции Е, он может быть
Замечание. Отметим также, что

Таким образом, если оператор V ограничен, то все операторы сдвига Тп. : Е нч С(- + «;), гг Є С, также ограничены в НР(Е).
Замечание. Если оператор V ограничен, то функции Е не имеет вещественных нулей. Действительно, если Е(х0) — 0, То Є К, то іДжо) = 0 для всякой функции Е Є ^(Е), причем кратность нуля г0 в Т не меньше, чем кратность хц в Е. Дифференцирование понижает кратность нуля, поэтому найдется п Є N такое, что
р(п) £ ПР(Е).
Согласно предложению 1.4 и предыдущему замечанию мы можем рассматривать только функции экспоненциального типа, имеющие вид
где а > О, Ь Є К, с Є С, и гп = хп + іуп Є С+ удовлетворяют условию Бляшке. В частности, функция Е принадлежит классу Полна. Напомним, что целая функция Е принадлежит классу Полна, если Е не имеет нулей в нижней полуплоскости, Е(г)| > |.Б(д)), г € С+, и Е{х +гу) - возрастающая функция от у > 0 при каждом фиксированном х € Ж. (см. [26], с. 13; [9], с. 431).
Замечание. Пусть Е, Е-і - целые функции, удовлетворяющие условию (2), и Е] = 8Е2, где Б = Б* - целая функция. Тогда отображение F Е ■ Э есть унитарный оператор из Н(Еі) на Н(Еі) (см. [26], с. 52). Таким образом, ’’вещественный”множитель 5(^) = еь~ не влияет на ограниченность оператора дифференцирования.
В дальнейшем, считаем, не умаляя общности, что в формуле (30) Ъ — с = 0. Символы а и = хп + іуп всюду далее будут иметь тот же смысл, что и в формуле (30). Класс целых функций вида (30) будем обозначать через "Р
При изучении оператора дифференцирования важную роль играет функция то есть логарифмическая производная функции Е. Если Е Є То, то

Отметим также, что