Представление разрывных функций нескольких переменных интегралов Фурье

• Автор: Май Ван Минь
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Обозначения

Глава I Многомерный случай

§1.1. Частичные интегралы Фурье по шарам и прямоугольникам

§1.2. Частичные интегралы Фурье по многогранникам

§1.3. Сферические средние интегралов Фурье

Глава II Двумерный случай

§11.1. Частичные интегралы Фурье по звездным множествам

§11.2. Граничная точка

§11.3. Негативные результаты для невыпуклых множеств

Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел;
М — множество вещественных чисел;
М+ — множество положительных вещественных чисел; х = хт) — т-мерный вектор (точка пространства 1&т);
\х\ — ^х + ... + — евклидовая норма вектора х, х Є Кт;
х ■ у = хіух + ... + хтут — скалярное произведение векторов х и у из Мт;
О — (0 0) — нулевой вектор (начало координат) пространства Мт;
В(х, г) — открытый шар радиуса г с центром в точке х
§т-1 _ единичная сфера в Мт с центром в нуле;
[а,Ъ = {х Є Кт | а;- ^ X] ^ (і = 1 прямоугольный параллелепипед (прямоугольник) в Мт;
М(Е) — внутренность множества Е дЕ — граница множества Е;
Хе — характеристическая функция (индикатор) множества Е:
. . Г1, если х Є Е,
ХЕ= Ї п И- г
10, если х £ Е-
/(у) = / е-2^х — преобразование Фурье функции /, / Є Ь(М.т).

В начале списка литературы перечислены источники на русском языке, в конце — на английском языке. Ссылки даются по первым буквам фамилии автора. Во избежании путаницы ссылки на русскую и иностранную литературу набраны различными шрифтами.
Работа посвящена некоторым задачам восстановления разрывной функции нескольких переменных по ее преобразованию Фурье. В первой главе рассматривается общий случай, когда число переменных произвольно, а во второй главе изучается двумерная ситуация.
В одномерном случае подобные вопросы изучались в работах многих математиков. В большинстве случаев найдены исчерпывающие ответы, которые можно найти в фундаментальных монографиях [Б], [Во], [3], [Т], [Ты], [Ах], [Э]. В последние годы значительно возрос интерес к гармоническому анализу функций нескольких переменных. При этом оказалось, что некоторые фундаментальные утверждения классического одномерного анализа не переносятся на многомерный случай, а некоторые остаются открытыми проблемами до сих пор. Кроме того, возникают новые, естественные в кратном случае вопросы, не имеющие аналогов в классическом анализе, но играющие важную роль при исследовании функций нескольких переменных. К таким вопросам в первую очередь относится выбор определений суммы кратного ряда и кратного несобственного интеграла (при отсутствии абсолютной сходимости).
Кратному гармоническому анализу посвящено большое число работ, вышедших в последнее время. Отметим в первую очередь обзоры по этой теме [АИН1], [АИН2], [Г], [Ж], [ААП], [Д1], [С] и монографии [С], [СВ], [5], [ВТ]. Этой же теме посвящены отдельные главы монографий [3], [Во]. В сборнике [ВСХТ] обсуждаются различные задачи, в решении которых большую роль играет анализ Фурье функций нескольких переменных. Отметим, в частности, его значение в задачах аналитической теории чисел [В], [М], [Н.
Как уже было отмечено, в кратном случае большую роль играет выбор того или иного определения кратного ряда или кратного несобственного интеграла. Естественно определять их как предел частичных сумм или интегралов, взятых по расширяющимся конечным областям. В большинстве перечисленных работ рассматриваются два определения, в которых частичное суммирование или интегрирование ведется по шарам или прямоугольным параллелепипедам (в частности по кубам). Оказалось, что шаровые частичные суммы и интегралы ведут себя значительно хуже кубических. В частности, они могут

Гл. II. Двумерный случай.
Возникший в правой части неравенства интеграл оценивается с помощью теоремы II:
—7Г
Поэтому

яЬ)#
—7Г
и, следовательно,
Лр(Д) = о(я“*)
при q ^ 2, т.е. в этом случае оценка (1.6) установлена.
Если же q < 2, то р > 2 и поэтому
z-iL/max/ LIXI щах7
Интеграл от квадрата длины хорды есть О(^) в силу теоремы II. Поэтому в рассматриваемом случае из (1.8) следует
*М = о(1),
т.е. оценка (1.6).
Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 1. Если функция rw удовлетворяет условию Липшица I rw{tp) ~ г„{ф) | ^ L ч> - ф для всех (риф (коэффициент L зависит лишь от множества W), то
Ц Ха Me2'“”* (Jj/ = W + О (-)=).

Это частный случай теоремы 2 при q = Too.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если W — выпуклая компактная окрестность начала координат, то
Л ЫуУж“°Ыу = хЛхо) + о(щ).