Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова

• Автор: Иродова, Ирина Павловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 265 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные свойства кусочно-полиномиальных приближений
1.1 Почти диадические разбиения и почти диадическое дерево
1.2 Специальные диадические разбиения
1.3 Локальные полиномиальные приближения и их свойства
1.4 Сравнение локальных приближений в разных нормах
1.5 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений с разными
степенями
1.6 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений, подчиненных разным специальным диадическим разбиениям
1.7 Связь между кусочно-полиномиальными приближениями
2 Диадические пространства Никольского-Бесова и их свойства
2.1 Определение диадических пространств
2.2 Описание функций из В^в{Р)
2.3 Диадические производные
2.4 Эквивалентные квазинормы
2.5 Теоремы вложения
2.6 К - функционалы и интерполяция диадических пространств .
2.7 Интерполяция пространств В^°(Р) и В^)
2.8 Связь диадических пространств, построенных но разным разбиениям
3 Аппроксимационные характеристики диадических пространств
Оглавление
3.1 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с
нефиксированными узлами ^случай А > с/ 0-0)
3.2 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с
нефиксированными узлами ^случай А = ^ (р — д))
3.3 Приближение в почти диадическом пространстве ВМО(Г)
3.4 Неравенство типа неравенства Бернштейна
3.5 Описание пространств В^{В") в терминах приближения в Ьч
или ВМО(Г)
3.6 Диадические пространства Лизоркина-Трибеля
4 Приложение в классическом анализе
4.1 Модуль непрерывности и его свойства
4.2 Связь полного и частного модулей непрерывности
4.3 Построение гладкого сплайна
4.4 Классические пространства Бесова и их связь с диадическими
4.5 Эквивалентные квазинормы
4.6 Теоремы вложения
4.7 О связи классической и диадической производной
4.8 А'-функциоиал пары /Лпространств
4.9 /б-фупкционал пары (Ьр, У£)
4.10 Неравенство типа неравенства Бернштейна
4.11 Неравенство типа неравенства Джексона
4.12 Еще об эквивалентных квазинормах
Введение
Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гладкости является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория сф>унк_ ций многих вещественных переменных, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория приближения, гармонический а.ыалхяз и др.) При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся основными объектами теории, основывается на использовании базовых хгето-дов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского Бесова основными средствами исследований являются приближение Целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингулярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в частности, монографии С. М. Никольского [lj, О. В. Бесова, В. П. Ильина, Q jyj Никольского [2], И. М. Стейна [3], X. Трибеля [4], D. Adams, L. liedberg [5] а также статью Ю. А. Брудного [6].
В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематемачч1че-скос значение.
Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадических аналогов пространств Никольского - Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти Диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации)
Глава, 1. Основные свойства кусочно-полиномиальных приближений
Почти диадическое семейство Г можно описать в виде дерева. Начальная вершина дерева соответствует кубу (Зо- На у-ом уровне располагаются вершины, соответствующие квазикубам разбиения Будем обозначать вершины дерева теми же буквами, что и соответствующие им квазикубы. Вершина (у+ 1)-ого уровня (3 соединяется с б^-вершиной у-ого уровня, если для соответствующих квазикубов выполняется вложение: <2 С О'. Дерево, порожденное почти диадическим семейством, будем называть почти диади-ческим деревом..
Чтобы сформулировать первый результат, введем серию определений и обозначений. Прежде всего договоримся, что в дальнейшем мы будем пренебрегать множеством меры нуль. Если мы говорим, например, что множества не пересекаются, то это значит, что мера их пересечения равна нулю.
Отрезок [(Зі, <Эу] определим по формуле
[<Эг, <3.7] - {Я Є ^ : <3г С <3 с <ЗД.
Аналогично вводятся множества [<2і, (0у). Отметим, что на по-
чти диадическом дереве отрезок [<3г, <3у] можно изобразить в виде пути, который соединяет вершины соответствующие квазикубам (Зі и Qj. Таким образом, обозначение [(Зі, <Эу] имеет двойной смысл. Если <3и Qj - квазикубы, то [<Зі, <Эу] - это отрезок. Если <2г, <2у - вершины, соответствующие квазику-бам <3г, <2і> ТО [(Зі, (0^ - ЭТО путь, соединяющий <3г И (Зі-
Среди квазикубов из отрезка [<Зі, <2і] особую роль играет максимальный квазикуб, не совпадающий с <0^. Обозначим его К[д„<зл] (см. рис. 1.1). Если (Зі = О], то квазикуб 1^(3;^^] будет пустым множеством. Кроме того,
Яз Фі = 9^] О.І-