Математические задачи ньютоновской аэродинамики

• Автор: Плахов, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 223 с. : ил.

Оглавление

0.1 Введение

0.1.1 Общая характеристика работы

0.1.2 Основные определения

0.1.3 Аэродинамическая задача Ньютона

0.1.4 Результаты главы 2

0.1.5 Результаты главы 3

0.1.6 Результаты главы 4

0.1.7 Результаты главы 5

0.1.,8 Результаты главы 6

0.1.9 Результаты главы

0.2 Задача о наименьшем сопротивлении поступательно движущихся тел

0.2.1 Множества, вписанные в цилиндр
0.2.2 Множества, модифицированные в окрестности границы .
0.2.3 Двумерная задача
0.3 Задача Ньютона в средах с ненулевой температурой
0.3.1 Вычисление сопротивления и постановка задачи минимизации
0.3.2 Вспомогательные задачи на минимум
0.3.3 Решение задачи наименьшего сопротивления
0.3.4 Гауссовское распределение скоростей: точные решения .
0.3.5 Приложение А
0.3.6 Приложение В
0.4 О рассеянии в биллиардах

0.4.1 Рассеяние в двумерном случае
0.4.2 Рассеяние на поверхности шероховатых тел
0.5 Некоторые специальные задачи оптимального переноса массы .
0.5.1 Постановка задачи и формулировка результатов
0.5.2 Доказательство теоремы 0.5.
0.5.3 Примеры
0.6 Задачи оптимизации усредненного сопротивления
0.6.1 Двумерный случай
0.6.2 Случай высших размерностей
0.7 Эффект Магнуса и динамика вращающегося шероховатого диска
0.7.1 Описание эффекта и постановка задачи
0.7.2 Сопротивление шероховатого диска
0.7.3 Эффект Магнуса
0.7.4 Динамика шероховатого диска
0.7.5 Заключение и сравнение с предыдущими работами

0.1 Введение
0.1.1 Общая характеристика работы
В данной работе изложены результаты, относящиеся.к аэродинамике тел, движущихся в сильно разреженной среде. Предполагается, что частицы среды не взаимодействуют между собой и абсолютно упруго взаимодействуют с поверхностью тела; эти допущения очень сильно упрощают аэродинамику и позволяют свести ее к ряду чисто математических задач.
Впервые задача о наименьшем сопротивлении была поставлена Ньютоном в его книге "Рппар1а"[40] для случая, когда тело поступательно движется в среде неподвижных частиц. Ньютон поставил задачу о нахождении формы тела, при которой сила сопротивления движению тела в среде минимальна, в классе выпуклых тел фиксированной длины и ширины, обладающих вращательной симметрией относительно оси, параллельной направлению движения.
Эта задача сводится к минимизации функционала /$(1 + р'2{г))~1гйг в классе выпуклых неубывающих функций кр : [0, 1] -5- [О, Н]. Здесь график функции 2 — — р(л/х2 + у2) определяет верхнюю часть границы тела в подходящей системе координат (в которой движение происходит вверх, вдоль оси О г), а к обозначает высоту тела. Ныотон описывает тело наименьшего сопротивления, но не дает никаких указаний на то, каким образом оно найдено. В настоящее время принято считать, что задача Ньютона послужила одним из истоков вариационного исчисления и даже оптимального управления [1].
Впоследствии математики неоднократно обращались к задаче Ньютона и ее модификациям. Как правило, модификации заключались в том, что задача минимизации указанного функционала рассматривалась в классах функций, отличных от ньютоновского. Так, в работе Лежандра [35] задача минимизации рассматривалась при условии постоянства длины графика функции / (а не ее амплитуды Ь).
В 1993 г. начался новый этап в изучении этой задачи. Буттаццо и Ка-воль [21] лоставлили вопрос о минимизации сопротивления в классе выпук-

вращением всех этих треугольников вокруг вертикальной оси Охз, содержащей левую сторону О В левого прямоугольника. Множество В" такое же, как и в случае (1). В этом случае также нетрудно найти функцию ^,(£>^0) при £ = (х,Х2,В), х + х < 1. Обозначим М{Ъ,,е) множество значений £, для которых справедливо |а,'х| < ех2 или у/х + х — г{Ь + е/2) е [0, е/2] при некотором г, 0 < г < п — 1; имеем Агеа(Л/"(/г, е)) —> 0 при е —> 0+. Если £ принадлежит внутренности Л[(1г,£), то соответствующая частица отразится вертикально вверх и, следовательно, (£,г>о) = —г>о- Если же £ 0 М(к,е), то частица отразится от одной из больших дуг парабол, затем, пройдя через общий фокус, отразится от соответствующей малой дуги параболы и далее будет двигаться горизонтально, затем отразится от гипотенузы прямоугольного треугольника и после этого будет двигаться вертикально вниз. Таким образом, скорость частицы после всех отражений равна ^(£,^0) — Уо- Отсюда следует, что 11$ (В£) = с(уо,—уо) ■ Агеа(Л/"(/г, е)) —» 0 при е —> 0+. Утверждение 0.2.1 доказано.

Класс множеств, содержащих сечение цилиндра
Обозначим 5(/г) класс связных множеств, содержащихся в цилиндре Сд и содержащих по крайней мере одно горизонтальное сечение этого цилиндра Ва111(0) х {с}, —к < с < 0.
Утверждение 0.2.2. ^510{В) = 0.
Доказательство. Как и выше, строится семейство тел В£ таких, что (Ве) —»
О при е —»■ 0+. Это построение получается небольшой модификацией конструкций, использованных при доказательстве утверждения 0.2.1. А именно, добавляется множество, содержащее ннжнее сечение цилиндра Ва11-| (0) х {—к}. Кроме того, в случае К > 1/2 ось верхней (меньшей) дуги параболы слегка поворачивается вокруг фиксированного фокуса, а в случае к < 1/2 угол наклона гипотенузы прямоугольного треугольника делается немного меньше 45°. Эти модификации нужны для того, чтобы частица, отраженная от верх-