Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций

• Автор: Бахвалов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
Введение
1 О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных
1.1 Вспомогательные результаты
1.2 Построение функции с рядом, расходящимся почти всюду
1.3 Построение функции с всюду расходящимся рядом
2 Непериодические функции ограниченной Л-вариации и ин теграл Фурье
2.1 Некоторые свойства функций ограниченной
Л-вариации
2.2 Представление непериодических функций ограниченной Л-вариации интегралом Фурье
3 О поведении треугольных частичных сумм рядов Фурье
функций ограниченной Л-вариации
3.1 Модифицированные частичные суммы
3.2 Оценки поведения модифицированных ядер Дирихле
3.3 Достаточные условия ограниченности и сходимости треугольных частичных сумм
3.4 Пример функции с неограниченными треугольными частичными суммами
Список обозначений
Список литературы

Введение
Структура работы
Работа состоит из введения, трех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 46 наименований.
В данной работе формулы, леммы и теоремы будут имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.
Основные определения
Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье функций двух и более вещественных переменных. Рассматриваемые функции будут предполагаться измеримыми комплекснозначными.
В работе мы будем придерживаться следующих соглашений.
В главах 1 и 3 все функции будут считаться 27г-периодическими по каждому переменному, если не оговорено противное. Такие функции будут рассматриваться на кубе Тп или Т", где Т = [0,2-гг), Т = [—7Г, я), в зависимости от того, какой способ нам удобнее в конкретном случае.
Через Оь (ж) будем обозначать одномерное ядро Дирихле:
В случае, когда размерность пространства независимых переменных больше единицы, будут использоваться следующие обозначения. Элементы К” будут обозначаться как векторы, например, х = (жь... ,хп). Угловыми скобками будем обозначать скалярное произведение
Вектор с целочисленными координатами для краткости будем называть номером.
Через [ж] и |".т] будем обозначать соответственно наибольшее целое п х и наименьшее целое т > х. Через ха будем обозначать характеристическую функцию множества А.
Через С и С(-) обозначаются соответственно положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, не обязательно одинаковые в различных случаях. Там, где

ВВЕДЕНИЕ

необходимо указать, что такие постоянные или величины в нескольких формулах совпадают, они снабжаются индексом, например: С%(х, А) (нумерация ведется в пределах главы).
При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Д, Д,1 и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.
Определение 1. Пусть /(ж) — 27г-периодична по каждому аргументу и интегрируема по Лебегу на Т". Ее рядом Фурье по тригонометрической системе называется ряд

г,л,е 1 С С
Ст = Стг

коэффициенты Фурье функции /. В двумерном случае будет, как правило, применяться обозначение
0»,п = и }{х,у)е-1п*е-ЫЧх<1у.

Определение 2. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называ-еТСЯ Мг Мп
%(/,ж) = 5'м1
т=—М тп
или в двумерном случае

8м#ил*,у))= Е Е
Ш——М п
В двумерном случае нас будут интересовать также сферические и треугольные частичные суммы.
Определение 3. Сферической (шаровой) частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется
5в(/. (*.»))
т2+п2<Д2
Определение 4. Треугольной частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется
5ид(/. (*,»))= Е а™МУтхе?пу
ГЛАВА 1. О РАСХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ

вообще не зависит от у и равномерно ограничены по М и N величиной, зависящей лишь от Л, по доказанному выше (см. доказательство леммы 1.8).
(2). Пусть — один из квадратов, примыкающих к (фъд, например, ] = 1, р = 2. Тогда имеет место представление (1.19) для частичных сумм ряда Фурье. Первый интеграл в (1.19) ограничен величиной, зависящей лишь от Л, по тем же соображениям, что и в случае 1, а второй интеграл ограничен величиной, зависящей лишь от у и Л, в силу леммы 1.2 и оценки (1.20).
(3). Пусть } = р = 2, но к ф 2 или I ф 2, например, х < А, тогда по леммам 1.2 и 1.3 имеем
(4). Пусть у = р = к = I — 2. Если выполняется пара неравенств М у2, N /г2, то соответствующие частичные суммы ограничены величиной, зависящей лишь от А, по лемме 1.7. Пусть для определенности М < у2. Тогда по лемме
где p(M,N,y,x,y) < ра{х,у). Для модифицированной частичной суммы с помощью леммы 1.2 получаем оценку
С(х, у, А) 1п М < Сб(ж, у, А) 1пу.
Случай N у2 рассматривается аналогично. Лемма доказана.
Из леммы 1.9 непосредственно вытекает
Лемма 1.10. Если (х,у) € то существует Св(х,у, А); для любых натуральных М и N при любом у >
{х,»/))! 4.Са(х,у, Х)Ыу.
« - А№(У’Л) = СV(*> У’ А).
Sm,n(92/, (*, 2/)) = SM,N(g2/, {х, у)) + р(М, IV, у, х, у),
|5m,jv(p2’2, (ж, р))|