Классы Харди, мультипликаторы Фурье и квадратичные функции

• Автор: Парилов, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

1 Атомное разложение в пространствах Я1’9

2 Новое в теореме Марцинкевича

2.1 План доказательства

2.2 Вычисления

3 О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов

3.1 Схема доказательства

3.2 Доказательство теоремы 3

3.3 О сингулярных интегралах в неравенстве ЛиттлвудаПэли

Литература:

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия 20 века в теории классов Харди был разработан новый аппарат, основанный на методах вещественного анализа и повлекший за собой значительные результаты. Описание вещественных классов #р, 0 < р < 1, в терминах различного рода максимальных операторов и атомных разложений прояснило свойства функций из этих классов и в то же время предоставило универсальные средства для оценки сингулярных интегральных операторов. Это привело к новым утверждениям о мультипликаторах Фурье. Отметим лишь следующий замечательный факт, имеющий прямое отношение к содержанию диссертации и обнаруженный в середине 1980-х годов Рубио де Франсиа и Бургейном: “половина” неравенства Харди-Литтлвуда (верхняя 1Лоценка для соответствующей квадратичной функции) сохраняется при 1 < р < 2 для любого разбиения спектра на интервалы.
Возможности этих новых методов отнюдь не исчерпаны, а многие важные вопросы ожидают своего решения. В упомянутой выше теореме Рубио де Франсиа и Бургейна неясно было, например, как обстоит дело при 0 < р < 1 (полный ответ дан в диссертации, при этом существенную роль в доказательстве играют атомные разложения). За пределами шкалы Яр, впрочем, и о самих атомных разложениях было известно недостаточно: среди классов Харди-Лоренца Яр// при р ф д результат имелся лишь для р — 1, = оо (в диссертации этот пробел до некоторой степени восполнен). Выяснилось также, что даже в таком классическом утверждении, как теорема Марцинкевича о мультипликаторах, можно получить новую информацию, относящуюся к показателю р = 1.

Все сказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы.
Цели работы. 1. Доказательство теоремы об атомном разложении для пространств Харди-Лоренца Я1,9 при 1 < 2. Поиск (и доказательство) вариантов теоремы Марцинке-вича о мультипликаторах Фурье в случае показателя р, равного 1.
3. Доказательство аналога неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов в случае показателя р 6 (0,2].
Общая методика работы. В работе применялись методы анализа Фурье и комплексного анализа, использовалась теория интерполяции. Использовались также классические результаты функционального анализа.
Основные результаты работы. Впервые получено атомное разложение для пространств Харди—Лоренца Я1,9 при 1 < д < оо. Впервые доказан вариант теоремы теоремы Марцинкевича для показателя р — 1, утверждающий, что оператор, рассматриваемый в классической формулировке, отображает пространство Я1 (К) в пространство Н1,со(Ж). Изучение вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов, привело к распространению результатов Л.Рубио де Франсиа и Ж.Бургейна на случай произвольного показателя р £ (0,2]. Доказательство основано на атомных разложениях пространств Нр и теории сингулярных интегральных операторов и позволяет рассмотреть весь указанный интервал значений р единообразно, ранее техника, применяемая при р > 1 (Рубио де Франсиа) существенно отличалась от того, что проделал в случае р = 1 Бургейн.

(tk€ Z), а спектр функции (ztkfk) будет при этом лежать в отрезке Ак + tk.
Предположим дополнительно, что при некотором £ € (0,1) и всех к справедливо включение supp Д С £Ак и что длина каждого из отрезков А*. - степень двойки. Тогда неравенство (а) нетрудно вывести из теоремы 3.2. Действительно, сдвинем все функции Д как описано в предыдущем абзаце с тем расчетом, чтобы левые концы интервалов А* сместились в точку 0; обозначим сдвинутые интервалы через А*, а сдвинутые функции - через Д, тогда supp (Д)Л С £Дк- Теперь выберем функции фт, удовлетворяющие условиям (6), (7) и такие, как в лемме 2, тогда фт* Д = Д всякий
v_
раз, когда А*, - интервал длины 2т. Числа rij из определения оператора Т перед теоремой 3.2 - это те же левые концы интервалов Дj, так что 2П‘(Фк *fk) = fk и, соответственно, Т({Д}) = £ fk, и
все доказано.
Осталось свести все к рассмотренному специальному случаю. Это делается двукратным применением леммы 1. Действительно, сдвинем сначала все интервалы Ак так, чтобы их левые концы попали в единицу, и к соответствующей последовательности /+ сдвинутых функций применим лемму 1с А = 21/10, а затем к полученным функциям ау * применим обратный сдвиг (“вернем их в прежнее положение”). Тогда каждая функция Д распадется в конечную сумму Д = (мы обрываем суммирование, когда
носитель Е) функции о,- покидает сдвинутый в единицу интервал
группе (при одном значении к) носители двух соседних функций дк] могут перекрываться, однако других непустых пересечений нет. Разобьем всю последовательность {дна десять - в соответствии с остатком от деления индекса 3 на 10 в каждой группе. Нера-

А к), причем