Существование глобальных решений одного класса квазилинейных уравнений

• Автор: Романова, Ирина Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Параметрическое представление решений квазилинейного уравнения
1.1 Вспомогательные результаты
1.1.1 Уравнения эллиптического типа
1.1.2 Преобразование Лежандра
1.1.3 Гипергеометрическая функция Гаусса
1.1.4 Монотонность композиций гипергеометрических функций
1.1.5 Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера
1.1.6 Связь гипергеометрической функции Гаусса и функции Куммера
1.1.7 Некоторые числовые оценки параметров полученных гипергеометрических функций
1.2 Построение решений квазилинейного уравнения
1.2.1 Переход к фазовой плоскости
1.2.2 Решение линейного уравнения в фазовой плоскости
1.2.3 Параметрическое представление построенных решений
1.3 Решения уравнения Саймона
2 Существование целых решений
2.1 Свойства градиентного отображения
2.1.1 Свойства функциональных коэффициентов градиентного отображения

2.1.2 Разложение в ряды функциональных коэффициентов параметризации решения квазилинейного уравнения
2.1.3 Локальная инъективность градиентного отображения и оценка знака его якобиана
2.2 Глобальная инъективность градиентного отображения
2.3 Оценка гладкости решения в начале координат
2.4 Оценка роста решения на бесконечности
2.5 Замечания о росте решения
2.6 Теорема существования
3 Связь /б-решений и гармонических полиномов
3.1 Предварительные замечания
3.2 Представление гармонических полиномов в терминах параметризации решения
3.3 Поведение функций специального вида
3.3.1 Положительность вспомогательной функции 0,
3.3.2 Поведение вспомогательной функции на кривых специального вида
3.4 Связь А-решеиий и гармонических полиномов
3.5 Замечание о минимальных поверхностях
Литература
Введение
Данная работа посвящена изучению качественных свойств целых, т.е. определенных во всей плоскости аргументов (ж, у), решений квазилинейного уравнения
Ьъе[и] = ихх (2е +(7 + 1) и2х + (7 - 1 )иу) + 4иху ихиу+
+ иУУ (2д+(7 + 1) Ну + (7 — 1) их) — 0, (1)
где |7| > 1, е = 0, 1 или — 1.
Актуальность. Многие задачи анализа и геометрии «в целом» приводят к квазилинейным уравнениям, которые обладают квадратичной нелинейностью по отношению к первым производным. Особое место в изучении свойств решений таких уравнений занимают так называемые целые решения или решения с минимальным набором особых точек. Данный класс решений, в том случае если он не пуст, описывает внутренний характер соответствующего уравнения, а также его симметричные и структурные свойства.
Задача о тривиальности целых решений квазилинейных уравнений в частных производных имеет обширную историю и является, фактически, одной из классических задач. Хорошо известная теорема С. Н. Бернштейна [27] утверждает, что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей
(1 + Ну) ихх 2ихиу иХу + (1 + их) Чуу = О будут только линейные функции и(х,у) = ах + Ьу + с (здесь а, Ь, с — числа).

Основная его идея заключается в переходе от квазилинейного уравнения (1.1) к линейному уравнению в фазовой плоскости с помощью преобразования Лежандра
С = их(х,у), 7] = иу(х,у), у{£,г}) = х£ + уц - и(х,у).
Осуществив переход к фазовой плоскости, мы ищем решение линейного уравнения среди функций специального вида. Параметрическое представление решения уравнения (1.1) получим, перейдя от координат касательных плоскостей к координатам точек с помощью соотношений
ж = (фг/), у = гДфц), и = х£ + уг)-у(£,г)). (1.32)
При этом, необходимо отметить, что преобразование Лежандра (1.32) задает, вообще говоря, многозначную функцию, поскольку однозначно определено ЛИШЬ В окрестностях точек с невырожденным якобианом Определение 1.4. Точки фазовой плоскости (фр), для которых
— у ф О,
будем называть неособыми точками, в противном случае — особыми.
Таким образом, однозначность и глобальность построенных параметрических представлений решений уравнения (1.1) не являются очевидными фактами и требуют доказательства, что и составляет основную задачу второй главы диссертации.
Рассмотрим основные шаги построения решений исследуемого уравнения.
1.2.1. Переход к фазовой плоскости
В квазилинейном уравнении (1.1) проведем замену переменных, заданную соотношениями (1.32).