Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости

• Автор: Ткаченко, Наталья Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 116 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА В НЕКОТОРЫХ

КЛАССАХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ л

§1 Л. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений

§ 1.2. Оценка производной аналитической функции в произвольной области

комплексной плоскости

§1.3. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для односвязных областей с

кусочно-гладкой границей

§1.4. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для односвязных областей с

асимптотически конформной границей

§1.5. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для дополнения ограниченных
выпуклых областей

ГЛАВА II. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
§2.1. Некоторые оценки градиента гармонической функции
§2.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах гармонических
функций
§2.3. Ограниченные проекторы в весовых пространствах измеримых
функций
§2.4. Линейные непрерывные функционалы в пространствах аналитических функций
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Однако, если по теории классов Харди в течение почти векового исследования получены результаты практически исчерпывающего характера, то ряд центральных задач теории классов Бергмана все еще ожидает своего решения.
Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению (см., например, [30], [35], [32], [43]). Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.
Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И.И. Привалова (см. [41]), А.Н. Колмогорова (см. [37], [36]) и М. Рисса (см. [42]) об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.
Приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, для этого введем необходимые обозначения и определения.
Пусть £ = {г е С: г < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, Т = {г £ С: = 1} - его граница; О - некоторая односвязная область на С;
<7(щс(7) - расстояние от точки м’ до границы дО. Пусть также Н(С), к (О)

множества всех аналитических и гармонических функций в Ц соответственно; ЬРр {О) - класс измеримых по Лебегу в области <7 функций / таких, что
11/(ту)] с! Р (м>, дС)йт2 (гг) < +оо, 0 < р < +со, /3 > -1, (ОЛ )

где дт2 - плоская мера Лебега; Щ (б) - множество гармонических в С
функций и, для которых справедливо условие (ОЛ); А(0) - подпространство
пространства й(<7), состоящее из аналитических функций; Нр - класс Харди
в единичном круге 7; Ир - класс Харди гармонических в 5 функций. Обозначим, кроме того, Ц ((7) = Ьр {в), Ир ((7) = У (С), Ар (в) = Ар (<7).
Для и е й(7) пусть также М {г, и)
г 1 * . лУр
— \фе'°)р йа

Из классической теоремы М. Рисса известно, что если и е кр, 1 < р < +со, и V - гармонически сопряженная с и функция, г(0) = 0, то
Мр{г,у)<с(р)Мр{г,и), 05г<1,1<р<+со.
При 0 < р < 1 такая оценка неверна. Так, известная теорема А.Н.
Колмогорова утверждает: если ней1, тогда для сопряженной с ней функции V, г(0) = 0, справедливо неравенство
Мр(г,у)<с{р)М1(г,и), 0<г<1, 0<р< 1.
Г. Харди, Д. Литтлвуд доказали (см. [33]): если и, V - гармонически сопряженные функции в единичном круге ,7, у(0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия эир Мр(г,и)<+ со вытекает
0<г<1
1 лУ,
Мр{г,у)<с(р) | 1пу—— | ,с> 0.

1 п-в иР+т
f f
J J 1 ,.2+kp+v у/ t;+l
П p 1 T,
6 (u2+(t + e)2) « 2 U/g (U2 +t2)
- n)*P+T
c(l-p)
(1--)(2+*Р+Г) У
((l-p)2+02) « 2 (1-p)A(1-pf'
Доказательство. Так как |l + в < |/|, то
1 п-в u,+r
11 П 1v2+Ap+r у/ п+1 ~
6 (М2+(1 + 0)2) « 2 и (и2 +/2)
1 Ukp+T к~® I
~С I у/ I а 1,(2+*р+г 17+1 dtdti.
1~р 6 (ы2+г2)Х-2-)+Т
Снова рассматривая случаи: а) 1-р<<9<1;б) 1-р<1<#;в) в<1 — р<п — 6, по аналогии с леммой 1.7 получим утверждение леммы 1.8.
Лемма 1.9. Пусть а> 1, 0е[о,;г), 0<р<1, 1<р<+оо, £eZ+, х>-,
О < <кр + т +1, г) > кр + т + 1, с — const, с> 0, тогда справедлива оценка
1 п-в kp+z
f (*
' J , , а а C/2++r у/ 2+1
1 Р 0 (м2 + sin2 ———) “ 2 м/9 (м2 +sin2—)

((1-р)2+02) “ 2 (X-р)/я р)п
Доказательство. Так как 0<Кл-в, то в < t + в <п, и
1 + 6»

< . Следовательно, можно воспользоваться неравенством
2 | | ж
-х 5 sin jc,IjcI < —, тогда