Структурные вопросы мультинормированных весовых пространств функций

• Автор: Каплицкий, Виталий Маркович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 86 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I.Локально выпуклые пространства с базисом. Общие
определения и терминология, классы Ь{¥) и #(ТГ)
1.1.Определения пространств Ь(У) и Н(РГ)
1.2.Керн-функция весового пространства Бергмана и ее свойства
1.3.Условия вложения пространств Н-2(€к ,ъи) в терминах керн-функций; оценки ядер Бергмана для одного класса весов
1.4.Достаточное условие шварцевости пространства Н(¥)
1.5.Условия ядерности пространств Н(]¥)
1.6.Замечание о весовых функциях, задающих эквивалентные нормы в пространствах Ь2(Шк,т) и Н2(Ск,и>)
1.7.Оценки производных функции из класса Н(¥) и достаточное условие непрерывности оператора дифференцирования
Глава И.Достаточные условия существования безусловного базиса в пространствах Н(]У) и условия изоморфизма пространствам Кёте
2.1.Реализация сильного сопряженного к пространству Н(¥) при помощи преобразования Фурье—Лапласа функционалов
2.2.Метод «тупикового» пространства применительно к пространствам Н(¥). Теорема об изоморфизме одного класса пространств Н(]¥) и пространств Кёте

2.3.Применение к описанию сопряженного пространства обобщенного преобразования Фурье, связанного с функцией Миттаг—Леффлера с натуральным индексом

2.4.Замечание об интерполяции операторов в весовых
гильбертовых пространствах целых функций
Глава III.Пространства Н(¥), изоморфные различным
специальным классам пространств Кёте. Примеры реализации Н(¥) в виде пространств Кёте
3.1.Примеры реализации пространств Н{У) в виде пространств степенных рядов конечного типа
3.2.Примеры реализации пространств Н(уУ) в виде обобщенных пространств степенных рядов конечного типа
Литература
Введение
Одной из основных проблем в геометрической теории пространств Фреше является задача выяснения условий, при которых пространство Фреше имеет базис и может быть реализовано в виде пространства Кёте [6, 28]. Пространства Кёте как простейшие представители класса ненормируемых локально-выпуклых пространств, выступают в качестве модельных при изучении произвольных -пространств (т. е. пространств Фреше) и играют при этом такую же роль, что и координатные пространства £р (1 < р < ос) в теории банаховых пространств. Помимо построения общей теории, в которой основное внимание уделяется вопросам изоморфизма пространства Фреше подпространству или фактор-пространству заданного пространства Кёте, существованию базисов в дополняемых подпространствах пространств с базисом, конструкциям универсальных пространств и ряду других вопросов, большое значение имеет исследование геометрии конкретных функциональных пространств, возникающих в задачах анализа и теории операторов. Это пространства функций, выделяемые условиями гладкости и роста около границы области определения или на бесконечности (весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций, пространства функций, аналитических в областях, весовые пространства целых функций ит. п.).
Наиболее важные приложения такие пространства имеют в теории уравнений в частных производных, например, в вопросах существования и единственности решения задачи Коши [3, 4], в задаче о разложении по обобщенным собственным векторам бесконечных наборов коммутирующих операторов и других.
Кроме того, построение теории нетеровости для некоторых классов интегральных операторов свертки на полуоси в неэллиптическом случае опирается на рассмотрение этих операторов в подходящем счетно-
Покажем теперь, что в пространстве Ь-2{Шк,ги), вообще говоря, нельзя ввести эквивалентную норму, соответствующую некоторому непрерывному весу и/. Имеем
И/И2 = / f(x)2w2(x)d(x)

и аналогичное выражение для нормы || ||' с заменой w —> w'. Очевидно, что нормы || || и || ||' эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентные весовые функции w и w'. Пусть v(x) — In w(x), v'(x) = In w'(x), тогда w и w' эквивалентны при условии, что существует константа С > 0 такая, что
v(x) - v'(x) < С, х 6 Rk. (1-10)
Очевидно, что для произвольной измеримой функции v не существует такой непрерывной функции V, чтобы выполнялось условие.
Действительно, пусть v : Ш —* Е имеет в точках хп разрывы первого рода, и ее скачки в точках разрыва образуют неограниченную числовую последовательность:
= v{xn + 0) - v(xn - 0) = уп —> +оо.
С другой стороны, если предположить, что выполняется (1.10), то получаем оценку:
[vx=Xn-v{xn + 0) - v(xn - 0) < (v'(xn) + С) -- (v'(xn) - С) = 2С, п = 1,2,
в силу непрерывности функции г/.
Полученное противоречие доказывает высказанное утверждение.
Пусть w(z) — измеримая положительная локально ограниченная функция, w(z) = ехр(— v(z)), где