Оптимальное восстановление операторов мультипликаторного типа и решения волнового уравнения по неточным начальным данным

• Автор: Выск, Наталия Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Содержание
Введение

Краткое содержание работы Доклады и публикации

Глава 1. Общая постановка задачи восстановления и

используемые результаты

1.1. Общая постановка задачи восстановления

1.2. Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из Гг
Глава 2. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным
2.1. Оптимальное восстановление линейного оператора мультипликаторного типа по неточным значениям первых N компонент
2.2. Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике

2.3. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике
2.4. Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью
Глава 3. Оптимальное восстановление решения многомерного уравнения гиперболического типа
3.1. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения на сфере
3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре
Список литературы

Введение
При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, фуикционалои или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.
Первый этап теории приближений состоял в приближении индивидуаль-ных элементов некоторого множества с помощью элементов линейного подпространства, то есть в определении величины
min ||ж — zI, ze l 11 "
где х 6 X, X — нормированное пространство, L — аппроксимирующее подмножество X.
Теория приближений функций берет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами, а именно: наилучшим приближением непрерывной функции / на отрезке [а, Ь] обобщенными полиномами X)"=i ак<Рк[я) в метрике С([а,Ь]) называется величина

En{f)c = min ||/ - a/t(/c(a;)||c([a,b]),
ft=i
где
что для него

хп+1 — '2,акХк = (1/2)" cos(n + 1) arccos ж. к=о
На следующем этапе теории приближений изучалось приближение на классе, то есть ставилась задача приблизить функцию из некоторого класса W функциями заданной системы L (например, многочленами), и определить величину
sup min ||/ — z\.
few ZL
Примерами таких задач являются приближение функции из соболевского класса W* многочленами степени не выше п, или
Eng{w;) = sup inf||/-P„|U?
A.H. Колмогоров начал изучение задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций (pi
pv(C,X) = inf sup ||ж — /(ж)У,
/6(Р х£С
где X — нормированное пространство с единичным шаром В, С С X — аппроксимируемое подмножество в X, А С X, — некоторая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(C, А)
— некоторая совокупность отображений / : С —» А, <р
— заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множество. В частности, поперечник по Колмогорову:
dn{C,X) = M{d{C,LN,X)LN е LinN{X)}
— inf sup ||ж - F(a:)||,
F£T(C,LinN(X)) XEC
где LinN {X) — совокупность подпространств X размерности < N, П(С, Ыпн(Х)) — совокупность всех отображений F из С во всевозможные линейные подпространства L 6 Ып(Х).
Идея поиска самого лучшего поперечника лежит в основе задачи, сформулированной С.А.Смоляком [3]. С.А.Смоляк рассматривал

в силу определения й*. При Г < І < N в силу определения г
Мг / . Мг рвт-_ і /
М» — Мя* — г) + _ (ь'г — і'ят-і) +

+!"" ~ - -«) - !г~(';
откуда
-pj + лг + а2- = («, - иЯк) (±ї- _ /Д_іЦ > о.
V "*к+1 -
При 1 < j < вк, учитывая (37), имеем
+ Аі + А,2и3 = - ч) (- -- М >
Ъы-Ч +1-У

Тем самым неравенство (48) доказано, а так как £(гг, Аі, А2) = 0, то доказано и выполнение условия (а). Таким образом, подставляя Аі и А2 в (20) и (43), получаем погрешность оптимального восстановления и оптимальность метода
<р(у) = Е% (Х +
Покажем, что метод, в котором суммирование берется не по всем 1 < 7 < /V, а лишь из множества У*, тоже будет оптимальным. Пусть
Л = {*1; )*лг}-
Рассмотрим ту же задачу оптимального восстановления, но с информационным оператором
Из леммы 1 вытекает, что при всех Ї = 0,1
$к+1 "я*
Поэтому для нового информационного оператора I последовательность Sj, j = 0,1
1 <5<
зависит лишь от двух точек (р, р$к) и (р8*+1, і+1)- Поэтому
Е{Я,Ьк,5) Е{Я,Ш,1К,6),