Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений

• Автор: Туйчиев, Олим Джураевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 120 с.

СОДЕРЖАНИЕ '
Глава 1. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯС МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ
1.1. Выделение существенно особых сингулярностей.
Регуляризация задачи (1.2)
1.2.Разрешимость первой итерационной системы
1.3.Разрешимость Еторой итерационной системы
1.4.Асимптотическая сходимость формального решения к точному
1.5.Предельный переход в системе (1.2)
1 .б.Пример
Глава 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И ИХ АСИМПТОТИКА
2.1 .Регуляризация задачи (2.2)
2.2. Разрешимость итерационных систем
2.3.Однозначная разрешимость общей итерационной системы
2.4.Обоснование асимптотической сходимости формальных решений
2.5. Предельный переход в системе (2.2)
2.6.Приме р
Глава 3. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДИАГОНАЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ЯДРА
3.1 .Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач
3.2.Асимптотическая сходимость формальных решений
3.3. Пример
ЛИТЕРАТУРА
Исследование многих прикладных задач (квантовой механики, электротехники, динамических и биологических систем и т.д.) приводит к необходимости рассмотрения интегральных и интегро-дифференциальных систем с малыми параметрами. В случае, когда при стремлении малых параметров к некоторым предельным значениям изменяется тип соответствующей системы (например, интегральное уравнение второго рода переходит в интегральное уравнение первого рода), принято говорить, что соответствующая система является сингулярно возмущенной. Лишь в исключительных случаях такие системы допускают построение явно выписываемых решений, поэтому при их исследовании применяются приближенные методы. Эффективность приближенных методов существенно зависит от предварительного асимптотического анализа, включающего в себя не только выяснение качественных характеристик решения (например существования предельного режима), но и разработку алгоритма, позволяющего получать асимптотические решения исходной задачи с любой степенью точности.
Начиная с классической работы Лиувилля, исследования которого были посвящены уравнению второго порядка
у" + (Л 2г (х) + с/ {х))у = 0 (Л со), делаются настойчивые попытки развития общей теории сингулярных возмущений. Создание такой теории намного бы упростило исследование сингулярно возмущенных задач как в теоретическом , так и в прикладном аспекте и сделало бы разработку соответствующих алгоритмов более точной и целесообразной.
Однако работа Лиувилля и последующие затем работы Шлезингера [84] и Бирктофа [5] носят эпизодический характер. Они связаны в основном с потребностями в прикладных областях пауки, где время от времени появлялись сингулярно возмущенные уравнения и возникала необходимость их приближенного интегрирования.
Систематическое изучение теории сингулярных возмущений начинается в конце сороковых годов настоящего столетия, когда В. Вазов и
А.Н. Тихонов доказывают свои знаменитые теоремы о предельном переходе в сингулярно возмущенных задачах (см. [11], [12], [70] , [71]).
Развивая идеи А. Н. Тихонова, сформулированные им при доказательстве теорем о предельном переходе, А.Б. Васильева разрабатывает в начале пятидесятых годов эффективный метод пограничных функций (см., например, [9], [10]). Этот метод обобщается в различных направлениях. В семидесятых годах он получает развитие в методе угловых пограничных функций, разработанном В. Ф. Бутузовым (см.[3]). Заметим, что для некоторых классов линейных краевых задач для уравнений в частных производных параллельно с методом Васильевой был разработан метод Вишика-Люстерника (см.,например, [13], [14]).
Наиболее ранним и мощным методом является метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Возникший в начале тридцатых годов как метод исследования некоторых колебательных систем, метод усреднения получает свое дальнейшее развитие в более сложных уравнениях (см., например, [1], [26], [53], [77], [81], [82]). Известны различные модификации метода усреднения. В работах [77-79] А. Н. Филатовым разрабатывается метод замораживания, а в работах [26-28] идеи метода усреднения развиваются М. И. Имапалиевым на интегро-дифференциальные уравнения. Эффективными оказались идеи метода усреднения и при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений. В работах М. М. Хапаева [81-82] разрабатывается метод, позволяющий исследовать устойчивость в критических случаях и в различных многочастотных резонансных системах.
Идея сведения сложной дифференциальной системы к более простой, присутствующая в методе усреднения, находит свое воплощение и в других методах. Так, в работах [6], [7], [39], [40] Г. С. Ларионов развивает метод эквивалентного соответствия, в основе которого лежит идея замены интегро-дифференциального уравнения другим, более простым: в нем исходная матрица получает поправку порядка £, а интегральное слагаемое-поправку
порядка £ .Для построения первого приближения отбрасывается член

порядка £~ (т.е. интегральный член) и вместо исходного интегро-

(/с "(/,£) + /? (7) ] —решение уравнения (1.41). Отсюда следует, что
построение асимптотического решения исходного уравнения (1.41) можно заменить построением такого решения для задачи (1.48). Поскольку регуляризоваппая асимптотика единственна (см. теорему 1.1), то соответствующие регуляризоваиные ряды для (1.41) и (1.58) будут совпадать. Это позволяет сформулировать условия .при которых развитый нами
алгоритм приводит к сходящимся в обычном смысле регуляризованным асимптотическим рядам для (1.41). сумма которых будет точным решением уравнения (1. 41). Эти условия подробно описаны в монографии Ломова С. А. [42 стр. 77]. Напомним их.
/г (/) /
Пусть щ(7) = - а функция 7 = /л{т) является обратной но
«I (О

отношению к функции г= |Я(0) с!в = к (0) к {0) с!в. Тогда если для
О 0 1
всех П > /7о выполнены неравенство

/7+1

/7+1

С" (О)
с 10,7,1 ~Сп

-VI;
ІР (т))
С [0, т(
6)0 < с и < ссп, где постоянная с>0 не зависит от /7 ,

Т = 1^(0) сШ, то регуляризовашшй ряд задачи (1.58) сходится в обычном

смысле при 0 < Ы < — равномерно по 7 е 0,74.

Например, если в (1.58) взять

к^ (7) — е , к^ (7) = е , h{t) = te , то