Спектральная задача Штурма-Лиувилля с малым и спектральным параметрами в граничных условиях

• Автор: Бен Амара Жамель Бен Мустафа
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
§1. Общая характеристика работы
§2. Основные понятия, определения и результаты,
используемые в работе
ГЛАВА I. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ВЕЩЕСТВЕННЫМ СПЕКТРОМ
§1. Операторная трактовка задачи
§2. Случай положительного параметра т
§3. Случай отрицательного параметра т
и положительного С)
§4. Задача Коши для динамического уравнения
и ее устойчивость
ГЛАВА II. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ т И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ §1. Поведение собственных значений
в зависимости от параметра т
§2. Задача Коши для динамического уравнения
и ее устойчивость
РИСУНКИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
§1. Общая характеристика работы
Многие задачи математической физики приводят к вопросам определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и изучения сходимости разложений в ряды по собственным функциям. К таким вопросам приходят всегда применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего начальным данным и краевым условиям.
Классические результаты о свойствах собственных функций были получены В.А.Стекловым [1] и Дж.Биркгофом [2,3]. Дальнейшим развитием этих работ стали работы Я.Д.Тамаркина [4], М.Стоуна [5] и многих других математиков. Позже, в 60-х годах независимо в трех работах Н.Данфорда и Дж.Шварца [6],
Г. М. Кессельмана [7] и В. П. Михайлова [8] была получена теорема о базисности Рисса собственных функций усиленно регулярных дифференциальных операторов. Различные вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в последние годы изучали Ш.А.Алимов, В. А.Ильин, Е. И. Моисеев, М.Б.Оразов, Ю.В.Покорный, В.А.Садовничий, А. П. Хромов, А.А.Шкаликов. Мы не приводим здесь библиографию, которая заняла бы много места. Стоит отметить работу А. А. Шпаликова [9], где был предложен более общий подход операторной трактовки задач со спектральным параметром в краевых условиях в соболевских пространствах.
В диссертации исследуются спектральные задачи Штурма-Лиувилля, содержащие спектральный параметр в граничных уело-

виях. Такие задачи часто встречаются в физике и технике, поэтому они привлекали внимание исследователей и ранее. Еще Пуассон [10] в своем мемуаре решает задачу о прямолинейном движении тяжелого тела, подвешенного к концу растяжимой нити.
А. Н. Крылов [11] и С. П. Тимошенко [12] рассматривают задачу о продольных колебаниях стержня как одну из наиболее интересных точно решаемых моделей. Этот случай соответствует рассматриваемой ниже задаче при д(х) = 0. В работах [11,12] было проведено исследование поведения собственных значений (СЗ) соответствующей задачи при малых и болщых нагрузках Вот математическая постановка задачи, которую изучали вышеперечисленные авторы [11,12].
д2 д2
-и(х,Ь) = а2—и(х,1) + Е(ж,£), с краевыми условиями
(Ч(о,*)
| <(М) + ?7ш"(М) = о . и начальными условиями
{м(0, х) = (р(х)
0,х) = ф(х).
Поясним, откуда появилось такое специфическое условие на нижнем конце х = I. Ось х направлена по оси струны вертикально вниз, точка закрепления струны принята за начало координат. На конце, соответствующем абсциссе х = I, висит груз р, с которым этот конец связан неизменно. Натяжение струны выражается формулой ких (/г-модуль Юнга). Масса груза есть р/9 (ё ~ ускорение силы тяжести), следовательно, при отнесении

и=(“м)є2,(А>'*є[0'і!'
Согласно Лемме 1.11 оператор
А(9) — (q~ — 1)G > 0 при т Є (—mo,0),
где то не зависит от в. Но тогда, повторив рассуждения Теоремы 1.9, получим, что пучок Р(А,$) = А(9) — AG имеет одно отрицательное СЗ отрицательного типа на полуоси (—оо, q~ — 1), а остальные СЗ на полуоси (q~ — 1,оо) - положительного типа. Следовательно, Gufc(x, в), и(т, в)) не обращается в ноль при всех к > 0 и можно повторить рассуждения, проведнные для пучка Р(А,$). Тогда получим
Ао < Ао , Хк>, к = 1,2
Теорема доказана
Теорема 1.13. Первое отрицательное СЗ Ао(т) задачи (1), (2) стремится к —оо при гп -> —0, причем справедлива асимптотика
А0(т) = — - ip(m) + 0(m), q~
Соответствующая этому СЗ СФ щ(т) имеет асимптотику
uo(m) — (ch |~т)(1 + O(m)). (39)
► Равенство (38) вытекает из Теоремы 1.12 и Леммы 1.10. Докажем (39). Пусть и(х, А) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
и {0) = 0, и(0) = 1.
(40)