Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными

• Автор: Ульянова, Елена Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Список обозначений |
Введение
I. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущений нормальных операторов
1. Метод подобных операторов и теорема о расщеплении
2. Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству
3. Блочная диагонализация и равносходимость спектральных разложений
II. О спектральных свойствах некоторых краевых задач
1. Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов
2. Приложение к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений
3. Приложение к интегро-дифференциальным операторам
4. Метод подобных операторов в задаче Дирихле
Литература

Список обозначений
N — множество натуральных чисел
7L — множество целых чисел
К — множество действительных чисел
С — множество комплексных чисел
Я(А) — множество значений линейного оператора А
сг{А) — спектр линейного оператора А
р(А) — резольвента оператора А
А | Н0 — сужение оператора А на подпространство Но
Р(а, А) проектор Рисса оператора А, построенный по спек-
тральному множеству а из сг(А)
Н — комплексное гильбертово пространство
EndH — банахова алгебра ограниченных операторов, действующих в Н
Са{Н) — банахово пространство операторов, подчиненных А, с нормой || |Ц
<72(Н) — идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в Н, с нормой || ||г
£2 — гильбертово пространство последовательностей, суммируемых с квадратом
Z/2[0, 7г] — гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0,7г]
Я — банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В, с нормой || |[+
Введение

В диссертационной работе исследуются спектральные свойства нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными операторами (относительно вырожденными по терминологии [23]. Этот класс операторов естественным образом возникает при сведении исследования дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями к исследованию интегро-дифференциальных операторов, определяемых обычными двухточечными краевыми условиями [5], [60], [25].
Относительно конечномерные возмущения играют важную роль в теории управления [63] (в [63] рассматривался широкий круг вопросов для таких операторов: обратная задача спектрального анализа, базисность Рисса собственных векторов и т.д.). Формулы регуляри-зованных следов относительно конечномерных возмущении самосопряженных операторов с компактной резольвентой были получены в [39], [40]. В работах [57], [58] изучался вопрос равносходимости спектральных разложений.
Конкретные классы операторов, которые можно отнести к относительно конечномерным возмущениям, рассматривались в работах [28]-[30], [21], [32].
Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений является резольвентный метод [16], [27], [37], [38]. В данной диссертационной работе в качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [15], абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [4], [7].
Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему

Отсюда следует, что
\РХ)0Рі\2 < ||Р/ВД|| < \Х\.а&.
Следовательно, ЗпХ -Є АІ и ||*7П||* < Ц-Х’Ц*. Таким образом,
Непрерывность Гп : 11 —» Епс1(Н) доказана в лемме 1.2.2. Таким образом, свойство 2) в определении допустимой тройки выполняется. Перейдем к доказательству третьего свойства.
В силу того, что операторы 2отп {т = п,к ф п} V {т ф п, к = п}1 определяющие оператор ГПХ, являются решениями уравнения (1.2.17), множество значений В,апХотк оператора тк содержится в И(А), а поскольку А замкнут, то и множество значений ГПХ содержится в области определения оператора А. Кроме того, непосредственно проверяется, что имеет место равенство
Действительно, поскольку спектр оператора А не содержит нуля, существует обратный оператор Л-1, и любой элемент х Є Е(А) можно представить в виде х = А~гу, у Є 72(Л), у = Ах. Поэтому
Зп : ІА —» XI и является непрерывным трансформатором в АХ.
{АГпХ - ТпХА)х = (Х- ЗпХ)х УХ Є АХ, Ух Є В(А).
(АГ„Х - Г„ЯА)ж = (ДГ„Х - ТпХА)А~'у
(.тХогппУ + АпХйпту)

— у (А-лг'Отп Отпп) У ”1" (уп-Опт птт) У
т> 1 тфп

= £ (РтХ0РпАп + РтХ0РтАт)х = {Х- Зпх) X.
«ь>1