Приближение оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами

• Автор: Бердышев, Сергей Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 69 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение
1 Приближение операторов дифференцирования первого и второго порядка на классах ТГ2Я(^) дважды дифференцируемых функций на полупрямой.

§1. Постановка задачи и некоторые общие результаты

§2. Наилучшее приближение оператора дифференцирования

первого порядка .

§3. Наилучшее приближение оператора дифференцирования

второго порядка

2 Конечноразностная аппроксимация оператора дифференцирования.

§1. Постановка задачи и предварительные результаты

§2. Аппроксимация оператора дифференцирования первого
порядка
§3. Аппроксимация оператора дифференцирования высокого
порядка
§4. Сравнение аппроксимативных свойств наилучшего и конечноразностного операторов
3 Относительная константа Юнга пространства 1^.
§1. Постановка задачи и предшествующие результаты
§2. Относительная константа Юнга пространства 1^
Литература

Список обозначений
К — вещественное пространство;
Т>(Ы) — область определения оператора U
E(N) = E(N,U,Q) = mfS:||5||^ sup^g \Ux - Sa:||y — величина наилучшего приближения оператора Ы на классе Q. лежащем в области определения U линейными операторами с нормой, ограниченной числом
JV > 0;
U(S) = 8иржЄф \Ux — Sa:IIу — величина уклонения оператора S от оператора U на классе Q:
Ф(д) = sup {||ZY.t||k : х G Q, ||x'||.y ^ ß} — модуль непрерывности оператора;
I — числовая ось (—оо,+оо) или полуось [0,+оо);
С(1) — пространство непрерывных и ограниченных на / функций / с нормой 11/11 = ||/||с(/) = sup {|/(ж)| : х Є /};
С(1) — пространство равномерно непрерывных на I функций;
ш(6) = w(g,S) = sup (lö'(^i) -g{h) : hM Є I,h - t2 < модуль непрерывности функции g-,
H(uj) — для заданного w множество функций / Є С(/), для которых w(f,S) < w((S), 5 > 0;
WnH(w) = {/ Є С (I) : Є Н{ w)} — класс п раз (п ^ 0) диффе-
ренцируемых функций на J, чья п-я производная принадлежит Н{иі)

WnHa(I) — класс всех дифференцируемых функций / из С{1) с п-ой производной, удовлетворяющей условию Липшица порядка а;
||/(n+а) || _ наименьшая константа 7 = 7(/) в неравенстве ш(/Ю, 5) ^ < L5a, 8 > 0;
К(к,п^а) — наилучшая константа в неравенстве Колмогорова для функций / € WnHa
||/W|K А-(4,гг,а)||Л|"е?||/("+")||Ж;
e(N,Dt,WnH(u)) = infM!;)vsup/eB,iHM|/l*l(0)-s/j - величина наилучшего приближения функционала /^(0) линейными функционалами s 6 С*(1) с нормой, ограниченной числом N;
Qn ■='.{/ € C(J) : ||/•(")||ioo(/) < 1} - класс функций / 6 (7(7) с локально абсолютно непрерывной (п — 1)-й производной /б1-1) на /? такой что -/И е 700(7) и Н/^Ццщ/) < 1;
(rxf)(t) — /(ж 4- t) — оператор сдвига;
V(X) — совокупность выпуклых ограниченных замкнутых множеств в банаховом пространстве X, состоящих более чем из одной точки;
d(M) = supX)2/GM ||ж - у\ — диаметр множества М;
r(M) = infpg^ 8иргеМ ||ж - р|| — чебышёвский радиус множества М;
rs(M) = infgejvf supj,€M (Iж - q|| — относительный чебышёвский радиус множества М;
— константа Юнга пространства Х

Доказательство. Из теоремы 1.3 следует, что неравенство (1.26) с константой (1.27) выполняется на множестве УУгНа. Функция /1-а принадлежит И^Я" и удовлетворяет (1.25), то есть, (1.7). Таким образом, неравенство (1.26) — точное, и, согласно замечанию к теореме 1.3, оно обращается в равенство на функции Да. Далее, соответствующие нормы и константы Липшица порядка а функций / и /й^, определённых отношением /а,б(£) = а/(Ы) для любых 5 > 0 и в 6 I, связаны следующим образом
Из этих соотношений следует, что если (1.16) обращается в равенство для некоторой / Є УУгЯ“, то то же самое будет верно дл функций /<,,&(£)• Теорема 1.6 доказана.
Отметим здесь, что это утверждение в случае а = 1 было доказано А. П. Маториным [22].
§3. Наилучшее приближение оператора дифференцирования второго порядка.
Лемма 1.3. Пусть ш — выпуклый модуль непрерывности. Тогда для любого N > 0 существует пара чисел б, г (0 < к < г) таких, что выполняются следующие равенства
II/«,»11 = N11/11, ІІЩІІ-ЙЬЦ/’ІІ,
ІІ/ІГ'И =
•|а|?>2+"||/(2+0')р_
^ к(г — К)
(1.28)

(1,29)