Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций

• Автор: Родикова, Евгения Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 121 с.

Оглавление
Введение

1 Факторизационные представления и описание корневых

множеств весовых классов аналитических функций

1.1 Ф а. кто р и з ац и от ] ое представление и описание корневых множеств класса аналитических в круге функций с о - характеристикой из Ьр - весовых пространств
1.2 О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи конечного множества точек на границе

1.3 О нулях аналитических классов И. И. Привалова

1.4 Факторизациоииое представление и описание корней классов аналитических в верхней полуплоскости функций с мажора гой бесконечного порядка
1.5 Характеризация вещественных корней аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечною порядки

2 Приложение факторизационных представлений к некоторым

задачам в классах аналитических в круге функций с
ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны
2.1 Об интерполяции в классах аналитических в круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны
2.2 //-оценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р. Неванлинны
2.3 О коэффициентных мультипликаторах из класса аналитических в круге функций с ограничением на характеристику Р. Неванлинны
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Одним из важнейших направлений исследова-пиіі в современном комплексном анализе является построение факториза-ционпых представлений весовых классов аналитических функций. Помимо '[■ого. что результаты этих исследований имеют самостоятельный интерес, они также широко применяются при решении различных задач комплексного и функционального анализа: при изучении граничных свойств классов аналитических функций, в вопросах теории интерполяции, в задачах аппроксимации. в теории операторов и т.д. Истоки теории факторизации лежні в классических работах К. Вейрштрасса, Ж. Адамара. Ф. Бореля. В.В. Голубева. посвященных факторизации целых функций, и в работах Р. Неванлинпы. В.И. Смирнова о представлении функций ограниченного вида и классов Харди. Интерес к этим проблемам не иссякает и в настоящее время. В последние десятилетия были написаны несколько монографий по этой тематике: М.М. Джрбашяном (1966 г.). А.Е. Джрбашяном и Ф.А. Шамояном (1988 к). Г. Хс-денмальмом. Б. Корснблюмом и К. Жу (2000 г.). К. Сеймом (2004 г.). Ф.А Шамояном и Е.Н. Шубабко (2009 г.). При построении факторизациопныч представлений существенное значение имеет характеризация корневых множеств соответствующих классов аналитических функций. По этой проблеме опубликованы многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых: У. Хеймана. С. Линдона. М. Цудзи. Ф.А. Шамояна. H.A. Широкова. Б.Н. Ха-бибуллинн, Б.И. Коренблюма, К. Сейпа. Г. Хеденмальма. А. Боричева, и др. На основании вышеизложеного можно заключить, что выбранная тема диссертационного исследования весьма актуальна.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.
Пусть D единичный круг на комплексной плоскости C. H(D) множество всех аналитических в D функций. h(D) множество всех гармонических в D функций. Символом Zf будем обозначать множество всех корней ненулевой функции /. n(t) - количество нулей функции f в круге Iz < L. а+ = шах(а,0). а Є К.
В 20-е годы прошлого столетия в работах одного из классиков комплексного анализа Р. Неванлинпы было введено понятие характерноїиче-

ской функции, явившееся оеновопологающим для всей теории аналичиче-еких функций: Пуст1> / Е H(D). характеристикой Р. Неванлитшы называется функция

T{r'f) = h I ln+i/(^)i^,

где 0 < г < 1 (см. |17|).
Классом Р. Неванлинны или классом функций ограниченного вида называется множество N функций / Е H{D). для которых
sup Т(г. /) < +оо.

Р. Неванлинна построил факторизационное представление класса N:
Класс N совпадает, с множеством, функций / Е H(D). допускаючциг представление вида
f(z) = enzxB(z,zk)expj^T j е~о | ■

где В(г.гф) = П ]ід Bil- произведение Бляшке.последовательности точек из В. удовлетворяющая условию Бляшке:
-Т ОО
У](1 ~ Ы) < +<*>. (ОЛ)

•ф вещественная функция ограниченной вариации на [0, 2тг]. 7 Є М. А Є Ъ.
Этот' результат нашел многочисленные приложения в ряде разделов комплексного, гармонического и функционального анализа.
В своей монографии Р. Неванлинна ввел также более широкий класс
5Л := |/ Є Н(В) : /(1 “ ГУ1Т^ № < 001 ° > -1 и получил необходимое условие па нули функций из этого класса (см. |17|):
жишанъпая функция, <р Є (7^(1, +оо). удовлетворяющая условиям (1.22).
Тогда следующие утверждения равносильны:
1. Для произвольной последовательности {zk}}"c^ = / є ІІДТ). сго-
В дальнейшем для случая, когда Е С Т - конечное множество точек на единичной окружности, в работе [45] было установлено следующее утверждение:
Теорема В. Если f € НДЕ), д(1) = Е. д > 0, послсдовате о мин ть
нулей функции /, то сходится ряд:
где є сколь угодно малое положительное число.
В недавних работах Л. Голинского. С. Купина. С. Фа норова. Л. Радченко последний результат был обобщен в различных направлениях в (см. |52|-[54|). В частности, в работе [54], авторы получили аналог необходимого условия в теореме, Б для класса НДЕ). Однако полного описания корневых множеств класса НДЕ) до сих пор не было получено.
Нами для случая конечного множества Е = {с?г'г}]!7[)1 С Т установлены следую!цие результаты:
Теорема 1.3. Пусть <р> монотонно возрастают,ая, положительная функция, р> Є С^(1. +оо), такая что
Если / Є НДЕ) и Еу = {гп}]Й- то ^ля любого В, > 1 справедлива оценка
2. [ уДх)ср(х)дх < +оо.
5>(*а,Д))^>+( 1-|г*|)<+оо.
(1.23)