Суммирование разложений по ортоподобным системам функций

• Автор: Павликов, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Структура работы
Основные определения
Обзор предшествующих результатов
Обзор результатов по главам
1 Суммирование ортоподобных рядов
1.1 Суммирование методом (С, 1)
1.2 Суммирование методами (С, а)
1.3 Суммирование по переставленным системам функций
2 Суммирование обобщенных ортоподобных рядов
2.1 Суммирование методом (С, 1)
2.2 Суммирование методами (С, а)
А Примеры
В Задачи
Список обозначений
Список литературы
Введение
Структура работы
Работа состоит из введения, двух глав, дополнения, списка основных обозначений и списка литературы из 55 наименований.
В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом.
Основные определения
Данная работа посвящена исследованию суммируемости разложений по ортоподобным и обобщенным ортоподобным неотрицательным системам разложения. Определения ортоподобных и обобщенных ортоподобных систем разложения вводятся далее.
В работе мы будем придерживаться следующих соглашений.
Систему измеримых комплекснозначных функций (<рг(£)}, определенных на множестве ІСІ, будем называть ортогональной, если для любых г ф у выполняется
где с» — любые постоянные, называется ортогональным рядом. Впервые ортогональные, а именно тригонометрические, ряды рассматривал Л. Эйлер. Он использовал их в теории движения Юпитера и Сатурна (в 1748 г.).
Ортоподобные системы. Т. П. Лукашенко в работах [30], [31] дал определение ортоподобных систем разложения, являющихся расширением класса ортогональных систем.

Если — счетная ортогональная система, то ряд вида

Введение

Пусть Я — гильбертово пространство над полем Е или С, а О — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой р. Систему элементов С Я будем называть систе-
мой в Я с индексами из £2.
Систему в Я с индексами из £2 будем называть ортоподобной
(подобной ортогональной) системой разложения в Я, если любой элемент у Є Я представляется в виде
где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {£2*,}^ пространства £2 (все £2* измеримы, £2*, С £2*,+! для
У ЧТО функция (у, еш)еы интегрируема по Лебегу на £2*, и
Ортоподобную систему {е“}а)€и будем называть неотрицательной (с неотрицательной мерой), если £2 — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой р.
Пусть задано исчерпывание {£2ПК£=;1 пространства £2. Введем следующее обозначение: Еп = £2П£2„_1 для п е Н, при этом считаем, что £2о = 0.
На протяжении всей работы мы будем рассматривать измеримые комплекснозначные функции с(ш) со значениями в К или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается гильбертово пространство Я).
Пусть задана измеримая функция с(ш) с условием / с(и>)2др{ш) < оо.
Рядом по системе {еи;(ж)}ш6п назовем выражение

/ с{и>)ё*{х)Лр{ш).
к=1Ек
Частичной суммой предыдущего ряда (последовательностью частичных интегралов интеграла / с((о)еа>(х)др((о)) назовем

ГЛАВА 1. СУММИРОВАНИЕ ОРТОПОДОБНЫХ РЯДОВ

16{£х)<1и < (ау2(-2-п-+ 1} Е Е^К!])2 / |сН|2^(а;)
X к=1 Л ^’=1 Я;
*---- У/
№ I 1 ^ J
2" /. 2я /иа-1
2 / |„/, Л|2л,,/, Л V1 I к~3
сш ашш
о;2(2т1 + 1) ~А / ' ' л А? I
Л=1 Е. ^ /
Оценим теперь внутреннюю сумму, рассмотрев 2 случая.
1. а ^ 1. Учитывая соотношения (1.8), получаем
2Л [Аа~Х 1 22~1 / ч2 00 / Аа~х
««н? 1'“«*-£(мж^г'‘
1 V- „, . 1 2а—2 , V-
(а)к°
к—} к=2у
М2(а)^~2) ^С2(а) СДа) С2(а) С {а)
Мл (а)з2а к2 .? 2у-1"' з
где СДа), СДа), С (а) — постоянные, зависящие только от а.
2. 1 < а < 1. Учитывая соотношения (1.8) и (1.9), получаем
2 — 1 ГмЛ / л ги-1 ^
2П /Ла-1 1 21~х , . о 00 / Аа~
£М«^5(«>5,(У
< 1 / аАк-з 2 лр СДа)
^ МДа)^ £?.к-з + а) (к-)+ |)2 ^
1 ^ М|(а)(й -7 + 1)2а СДа) С Да)
^ МДо)ра ^ (^-У + |)2 2у-1-у + | " У-|
+--7^ Е 4М|И(£: - ; + I)2“-2 < + Щ <
МДа))2а ^ .7 а 3~1
где Сз(а), СДа), С7(ск) — постоянные, зависящие только от а.