Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов

• Автор: Бесаева, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 82 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Список обозначений
Введение
1 Спектр разностных операторов в весовых простран-
ствах последовательностей векторов. Приложение к
дифференциальным операторам
§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории линейных
операторов и линейных отношений
§1.2 Спектральные свойства разностных операторов в весовых
пространствах последовательностей векторов
§1.3 Приложение к исследованию линейных дифференциальных операторов
2 Спектральные свойства разностных отношений в весо-
вых пространствах последовательностей векторов
§2.1 Общие свойства разностных отношений
§2.2 Спектральные свойства разностных отношений в весовых
пространствах последовательностей векторов
Литература

Список обозначений
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Z+ = N и {0} - множество неотрицательных целых чисел;
I — одно из множеств: Z, Z+
М - множество действительных чисел;
С — множество комплексных чисел;
С — расширенная комплексная плоскость;
Т(г1, гг) — множество {А е С : г < |Л| < гг}, где 0 г < ;
Т = {АеС:|А| = 1} — единичная окружность;
X, У, 2 — комплексные банаховы пространства;
X — конечномерное линейное нормированное пространство;
X х У — декартово произведение двух банаховых пространств X и У
1 < р < оо, — банахово пространство суммируемых с весом а. : I (0, оо) последовательностей х : 1 —» X векторов с нормой
1У(УХ) — банахово пространство ограниченных относительно веса
а : 1 —» (0. сю) последовательностей х : 1 —) X векторов с нор-
1£(К, X), 1 < р < оо, — банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, определенных на множестве Е, со значениями в банаховом пространстве X и суммируемых с весом а : К -» (0, оо)
со степенью р и нормой ||ж|| = с1Ь ;
Ьу(Ш,Х) — банахово пространство существенно ограниченных относительно веса а : М —> (0, оо) измеримых функций х : К —> X с
1(1, X) = 1Р(І, X), если а = 1;

нормой ||ж|| = vrai sup
te R
Lf(R,X) = LPa{M, X), 1 < p < oo, если a = 1;
LR{X ,У) — множество линейных отношений между линейными пространствами X и У]
LRC(X ,У) — множество замкнутых линейных отношений между банаховыми пространствами Хм У]
LO(X, У) — множество линейных замкнутых операторов, с областью определения из X со значениями в У
L(X,y) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве У;
L{X) — банахова алгебра ограниченных операторов в Х
Ю{Х) = LO{X,X), LR(X) = LR{X,X), LRC(X) = LRC{X,X);
I — тождественный оператор в любом из банаховых пространств;
D(A) = {у £У : (х,у) G А] — область определения отношения А;
Ker А = {х G X : (ж, 0) G А} — ядро отношения A G LR(X);
Im „4 = {у G А’ : существует ж G -О(Д) : (х, у) G А} — образ отношения A G LR(X)]
АХ0 — сужение линейного отношения на инвариантное подпространство Xq пространства X ;
А + В — сумма двух линейных отношений из LR(X, У)]
АВ — произведение линейных отношений В G LR(X,y) и A G LR(y, Z)
— {(У.x) ' (x,y) G Д} G LR{X,y) — обратное отношение к линейному отношению A G LR(X, ÿ);
<т(Д) — спектр линейного отношения Д G LRC(X);
Лемма доказана.
Лемма 1.12. Пусть оператор В Є Ь(Х) имеет одноточечный спектр: о{В) = {Ао} и выполнено условие (1.19),тогда
а (В) = а (Вы) = [|Ао|авіт(а), |А0|аеои4(а)]Т = [аеіпі(о;), аеоиі(а)]Т(|Ао|). (1.26)
Доказательство. Из одноточечтности спектра оператора В следует (см. [3]), что он имеет вид В = о I + С), где С) — нилытотентный оператор. Оператор представим в виде Вш = + В*, где
(В®х)(п) — Ао со(п)х{п — 1), (Вх)(п) = оо(п)С)х(п — 1), п Є х Є 1Р.
Из вида оператора В имеем, что он является нильпотентным оператором с тем же индексом нильпотентности, что и С). Запишем В® в виде В)) = Ви + (—Вц). Оператор ВI перестановочен с 5°, а следовательно перестановочен и с резольвентой оператора В%. Таким образом, в силу леммы 1.3, получаем, что а(Вы) = <т(В°).
Если Ао = 0, то В® = 0 и поэтому а(Вш) = {0}. Предположим теперь, что Ао 0 и выполнено условие (1.21). Тогда, согласно лемме 1.5, обратный к ВІ оператор ((В°)-1 х)(к) = -х[к +1) ограничен. Степени операторов
&ы и представимы в виде
((В)пх)(к) = Ад——ттт—х(к — п), п Є М, к Є Ъ, х Є 1Р. а(к)
((([%Т1Гх)(к) = ™Є N. є 2, х Є Р.
Тогда из леммы 1.5 и теоремы Бёрлинга - Гельфанда для спектральных радиусов г(В%) и г((Б°)-1) операторов В° и (Б®)”1получаем
г{В°ш)= Нш л/\(В°)п\ = |А0| Ііш (вира(* п)>) = (1.27)
П~>00 ш П->00 чА,е2 а(/с)
= | Ао|.ае0(ог).