Представление фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах

• Автор: Рябцов, Игорь Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
1 Фреймы в гильбертовых пространствах
1.1 Определения и основные свойства фреймов
1.2 Фреймы и связаные с ними операторы
1.3 Фреймовый потенциал
1.4 Равноугольные фреймы
2 Классы простых и составных фреймов Парсеваля в пространствах произвольной размерности
2.1 Основные свойства простых и составных фреймов Парсеваля
2.2 Взвешенное фреймовое объединение фреймов Парсеваля
2.3 Представление составных фреймов Парсеваля
2.4 Конструкции простых фреймов Парсеваля
3 Простые фреймы Парсеваля в конечномерных пространствах
3.1 Критерии простоты фреймов Парсеваля
3.2 Достаточные условия простоты фреймов Парсеваля
3.3 Топологические свойства простых фреймов Парсеваля
Литература

Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов — линейно-зависимых полных систем векторов.
Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [51], посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвящённых фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, A. Grossmann, Y. Meyer, C. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться [1,3,7,31,56]. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвящённых фреймам.
Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления разного рода шумов, в квантовой механике [7,13,66]. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или зашумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов под названием Compressed Sensing [52]. Нетриви-альность ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы
полностью, если они целиком попадают в это ядро.
Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании [57]. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности [50]. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности — операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.
Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной [36,47,48]. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.
Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов [37]. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные варианты [41,43], связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.
Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бес-

Докажем, что rankG = N. Согласно лемме 1.1 ранг матрицы G равен максимальному числу линейно независимых векторов системы F. Но поскольку F является фреймом Парсеваля, то он содержит базис. Поэтому ранг матрицы G равен размерности пространства то есть равен N.
Достаточность. Пусть оператор Грама G некоторой системы векторов F = і является ортопроектором ранга N. Тогда выполнены условия G* — G и G2 = G. Поскольку rank G = N, то в системе есть F содержится N линейнонезависимых векторов. Следовательно F Є F). Также верны следующие равенства
q2 Т*ТТ*Т *2
Т*(ТТ*)Т -Т*Т = 0,
Т*(ТТ* - 1)Т = о,
{ТТ* -1)Т = о,
((ТТ* - 1)Т)* = о,
Т*(ТТ* -1)* = о,
ТТ* - I = о,
rjnrjn*
Поскольку фреймовый оператор S — ТТ* = I, то F Є VF(£%) □
Исследуем связь между собственными значениями фреймового оператора и оператора Грама.
Теорема 1.6. Пусть F = {fi}j£i Є F(iф), тогда собственные значения фреймового оператора S совпадают с ненулевыми собственными значениями оператора Грама G.
Доказательство. Поскольку F Є Т(1 %), то Т* = analysis (F) — ограниченный оператор. Если теперь ТТ*х = х, х Ф 0 и Л ф 0, то Т*х ф 0. Следовательно
Т*Т(Т*х) - Т*(ТТ*х) = Т*(х) = ХТ*х