Спектральный анализ пучков операторов, возникающих в задачах гидродинамики

• Автор: Гринив, Ростислав Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1996
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Содержание
Введение
0.1. Полиномиальные пучки операторов
0.2. Обзор литературы
0.3. Основные результаты диссертации
0.4. Обозначения
Глава I. Пучок операторов, моделирующий колебания конечного стержня с внутренним трением
§1. Постановка задачи и вспомогательные результаты
1.1. Постановка задачи
1.2. Некоторые определения и используемые результаты
§2. Спектральные свойства пучка Ь(Х)
2.1. Структура спектра. Обобщённый спектр
2.2. Случай б = 0 и ограниченного оператора В. Вещественный спектр
2.3. Нейтральные собственные значения
2.4. Случай неограниченных операторов В ж С. Невещественный спектр
2.5. Вещественные СЗ пучка Ь(Х)
2.6. Асимптотика СЗ в —оо и в точке —1/а
§3. Задача Коши
3.1. Классические и обобщённые решения
'3.2. Базисность по Риссу системы СПВ оператора Т
3.3. Аналитичность полугруппы, порождённой оператором Т
3.4. Задача Коши

§4. Исследование дифференциальной задачи(І.І)—(1.2)
4.1. Свойства операторов А и G
4.2. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в —оо
4.3. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в точке —1/а
4.4. Задача Коши
Глава II. Пучок операторов, моделирующий колебания бесконечного стержня с внутренним трением
§5. Постановка задачи и обзор результатов
5.1. Механическая задача
5.2. Относительная компактность в смысле квадратичных форм
§6. Спектральные свойства пучка L(Л)
6.1. Непрерывный спектр
6.2. Невещественный спектр
6.3. Число СЗ пучка L(А) в правой полуплоскости
6.4. Накопление СЗ к точкам —1/а и
§7. Задача Коши
7.1. Сведение задачи Коши к системе первого порядка
7.2. Аналитичность Со-полугруппы, порождённой оператором Т
7.3. Решение задачи Коши
§8. Исследование дифференциальной задачи (5.1)-(5.2)
8.1. Свойства оператора G
8.2. СЗ в правой полуплоскости
8.3. Накопление СЗ к точкам 0 и —1/а
8.4. Задача Коши
Список литературы

Введение
0.1. Полиномиальные пучки операторов. Методы функционального анализа и, в частности, спектральной теории операторов широко применяются при исследовании различных линейных моделей математической физики (дифференциальных уравнений и краевых задач, теории оптимального управления, теории упругости, гидродинамики и др.). При этом естественно возникают спектральные задачи для полиномиальных операторных пучков (пучков операторов).
Действительно, обычно в малом приближении эволюция физической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. Рассматривая соответствующие дифференциальные операции как операторы в некотором гильбертовом пространстве функций %. эту систему уравнений можно записать в виде
Здесь время. и(Ь) и /(£) — функции со значениями в пространстве %, описывающие состояние физической системы и внешнее воздействие на неё соответственно, Тк, к = 0, п — линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы в Ц. Применяя метод Фурье, то есть ища решение однородного уравнения, отвечающего (0.1), в виде и{к) = уегМ, где у £ Е С
приходим к следующему равенству:
Возникает'задача найти все пары (Л, у) собственных значений (частот колебаний) и собственных векторов (состояний), удовлетворяющие равенству (0.2). Другими словами, мы получаем спектральную задачу для полиномиального пучка операторов

Т(А) := ± АкТк.

—оо и —l/a
Ъ-= Ы{Ву,у) и b+ = sup (By, у) (2.1)
1ЫИ IMI=i
нижняя и верхняя грани оператора В, то при 1 — ab- 0 спектр пучка L(А) вещественный, причём —1/а является точкой накопления СЗ справа.
В случае 1 — ab+ > 0 пучок может иметь невещественные СЗ, и все они
расположены в кольце
R(6+,6_,a) = {Л ç С | (1 — ab+)/a2 < |А + 1/а|2 < (1 - а6_)/а2} , (2.2)
а точка — 1/а является точкой накопления СЗ слева. Наконец, при 1 — ab+ О < 1 — ab_ кольцо R(b+,b-,a) вырождается в круг
£)(/_, а) = {Л € С | |А + 1/а|2 < (1 — аЬ_)/а2},
содержащий все невещественные СЗ, а —1/а может быть точкой накопления с обеих сторон.
С физической точки зрения наиболее интересен случай, когда а — малый параметр. Поэтому всюду в дальнейшем мы предполагаем, что выполняется неравенство 1 — ab+ > 0, которое эквивалентно условию
В « (1/а)/. (2.3)
Для этого случая мы получим более детальное описание спектра.
Введём числа
— 1 + д/l — ab— — 14- д/1 — ab+
аг = , а2

—1 — д/1 — ab+ —1 — д/1 — ab.
а з =

Эти точки являются абсциссами точек пересечения с вещественной осью границы кольца Я(Ь+, 6_, а).
Напомним следующее определение (ср. [14]).
Определение 2.6. Вещественное СЗ ц называется собственным значением цоложитёльного (отрицательного) типа самосопряжённого пучка /ДА),