Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравнений

• Автор: Хазириши, Энвер Османович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Майкоп
• Количество страниц: 123 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

§1.1. некоторые вопросы конструктивной теории функций

1°. Об ортогональности производных некоторых систем функций

2°. Об одном классе ортогональных полиномов

3°. Полиномы Л.В. Канторовича и их сходимость

§ 1.2. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши на

отрезке
§ 1.3. Оптимизация квадратурных формул для сингулярных интегралов
ГЛАВА 11. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§2.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты из общей теории приближенных
методов
§ 2.2. Общий проекционный метод и его сходимость
§ 2.3. Приложения к полиномиальным методам
2.1°. Метод Галеркина
2.2°. Метод коллокаций
2.3°. Один полиномиальный метод
2.4°. Некоторые замечания
2.5°. Приложения к сплайн - методам
§ 2.4. Метод механических квадратур
§ 2.5. Проекционные методы решения с.и.у
§ 2.6. Метод вырожденных ядер

ГЛАВА III. ОБ ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ,
ПОРОЖДЕННОМ СИНГУЛЯРНЫМ ИНТЕГРАЛОМ
§3.1. Определение и конструктивные свойства пространства Wp
§ 3.2. О приближенном решении характеристического сингулярного
интегрального уравнения в пространстве Ур
§ 3.3. О приближенных решениях сингулярных интегро-дифференциаль-ных уравнений
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Диссертация посвящена прямым и, в частности, проекционным методам решения различных классов одномерных сингулярных интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений (кратко: с.и.у. и с.и.д.у.); а также приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта.
1. Актуальность темы. Хорошо известно [14, 27, 55, 11, 62], что многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, астрофизики, электродинамики, теории упругости и т.д. приводят к различным классам сингулярных интегральных и сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В подавляющем большинстве случаев решить такие уравнения в замкнутом виде не удается. Поэтому как для теории (которая в настоящее время достаточно хорошо разработана), так и для практики, важна и необходима разработка приближенных методов их решения с соответствующим теоретическим обоснованием. Под теоретическим обоснованием [63] следуя академику Л.В. Канторовичу, мы понимаем следующий круг вопросов:
1) Доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений.
2) Доказательство сходимости приближенных решений к точному решению.
3) Установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.
Далее заметим, что когда даже в весьма редких частных случаях существуют решения с.и.у. в замкнутом виде, то для доведения результата до числа требуется вычисление сингулярных интегралов (с.и.). Поэтому естественно возникает необходимость разработки приближенных методов вычисления с.и.
За последние годы значительное развитие получили приближенные методы вычисления с.и. [9, 13, 29, 43] и решения различных классов с.и.у

x(l - x2 )[(2n - 2m+2)(2n - 2m+)y22m+2x2n-2m + (2« - 2m - 1)/22тх22т~2 ] --(4x2 -2)[(2п-2т+2)Г2п_2т+2Х2п-2т+1 +{2п-2т)Г2п_Ъпх2п-2тА] +
+ 2n(2n + 3)y2„_2mx2"~2m+1 = 0.
Откуда следует, что
(2n -2m Л- 2)(2n-2m + l)y2„-2m+2 ~(2n~2.m){2n -2m- )y2n-2m = °-И поэтому
(2n-2m + 2)(2n-2m + 3)-r2„-2m+2 n 1П
Г2-2"
Так как у2и = К то ПРИ т=, в силу (1.16), имеем
_ 2«(2« + 1)
Ï2n~2 ~ ~ 2(4«+ 1) '
Итак,
_ 2„ _ 2п(2п +1) 2п-2 , 2я(2л + 1)(2и-2)(2я-1) 2„_4 ,
U/T и Л Ик I ~—~* Л I
V2" 2(4« +1) 2 4 (4« +1)(4« -1)
т2п(2п + )(2п-2)(2п~1)...(2п-2т + 2)(2п-2т + 3)х2„-2т | п 17) 2 4...2«г(4и +1)(4« -1)...(4« - 2т + 3)
(2« + 1)(2«-1)...3 (4и +1)(4« -1)...(2« + 3)
В этой же работе [48] доказано, что функции нечетной степени (р2п+(х) («=0, 1,2, ...) являются частными решениями уравнения
х2Я5(х) + [x2Q(x) - 2xi?5(x)]— + [2Л5(х) - xQ(x) - rnx6]y = 0 (1.18)
dx ах

Q(x) = R4 + R'5 - %-; тп = 2«[r0(4) + (2« + l)r0(5)]
гі4-1 - коэффициент при х4 многочлена К4 н 5-, - коэффициент при X5

многочлена Rs(x).
Действуя аналогичным образом, можем показать, что многочлены

нечетной степени (р2плЛ (х), ортогональные [-1, 1] относительно веса р(х)=х , удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка