Геометрия вещественных подмногообразий и действий вещественных групп на комплексных областях

• Автор: Кружилин, Николай Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 242 с.

Содержание
Содержание
Введение
Глава 1. Комплексные диски, подклеенные к вещественным подмногообразиям
1. Подклейка голоморфных дисков к поверхностям
2. Схема доказательства теоремы
3. Доказательство предложения 1.2
4. Доказательство предложения
5. Доказательство предложения
6. Доказательство предложения
7. Доказательство предложения
8. Доказательство предложения
9. Доказательство предложения
10. Доказательство предложения
11. Доказательство предложения
12. Существование и локальная параметризация дисков Бишопа для
СБ.-подмногообразий почти комплексных многообразий
12.1. Почти комплексные многообразия
12.2. Бишоповские диски н уравнение Бишопа
12.3. Решение обобщенного уравнения Бишопа
13. Гиперповерхности с нулевой формой Леви
14. Многообразия с ненулевой формой Леви
14.1. Случай СКсИтЕ
14.2. Случай СЛсИтЕ >1
Глава 2. Биголоморфная классификаций трубчатых областей и областей
Рейнхарта
1. Коммутативные группы автоморфизмов гиперболических комплекс-
ных многообразий
2. Аффинная и голоморфная эквивалентность гиперболических трубча-
тых областей в С2
2.1. Трехмерная группа автоморфизмов
2.2. Трехмерная группа с одномерным коммутантом
2.3. Трехмерная группа с двумерным коммутантом
2.4. Четырехмерная группа автоморфизмов
3. Голоморфная эквивалентность трубчатых областей без условия ги-
перболичности
4. Автоморфизмы двумерных трубчатых областей

5. Области Рейнхарта и предварительные сведения об их автоморфиз-

6. Собственные вектора операторов ad Lj, отвечающие чисто мнимым
собственным значениям
7. Связи между собственными векторами операторов ad Lj
8. Автоморфизмы областей Рейнхарта
Глава 3. Собственные отображения областей Рейнхарта
1. Общие сведения
2. Предварительные результаты
3. Леви-плоский случай
4. Сферический случай
Глава 4. Комплексные n-мерные многообразия с действием групп Un и

1. Схема классификации
2. Размерности орбит
3. Случай орбит — вещественных гиперповерхностей
4. Случай орбит — комплексных гиперповерхностей
5. Однородный случай
6. Характеризация С"
7. Случай SH,г-действия с неподвижной точкой
8. Описание орбит
9. Классификация действий без неподвижных точек
Список публикаций автора по теме диссертации
Список литературы

Введение
Построение комплексных дисков и семейств комплексных дисков с предписанным граничным поведением является одним из мощных и широко используемых инструментов многомерного комплексного анализа. Его популярность можно объяснить тем, что таким образом многие многомерные задачи удается свести к задачам .на построенных дисках, то есть одномерным. Классическим примером использования комплексных дисков в многомерных задачах является “КопйпшШ;5за1г” Ф. Хартогса, которое описывает в терминах комплексных дисков оболочки голоморфности областей комплексного пространства, так что феномен принудительного аналитического продолжения во всей полноте может быть изложен на языке семейств голоморфных дисков. Комплексные диски используются при решении граничных задач, изучении СЯ-многообразий, исследовании инвариантных метрик, анализе граничных свойств голоморфных отображений, в симплектической геометрии и в других областях анализа и геометрии.
В диссертации семейства комплексных дисков возникают в двух контекстах.
Один из них - это аналитические диски с краем на предписанной (чаще всего, двумерной) поверхности. Нередко семейство таких дисков образует Леви-плоскую поверхность. Эта задача в различных постановках рассматривалась Э. Бедфордом, В.Гаво, В. Клипгенбергом, Л. Лемпертом,
И. В. Щербиной, Дж. Томассини, Б. Стенсонес, 3. Слодковским и другими авторами. Широко известен результат М. Громова о существовании комплексного диска с границей на лагранжевом торе, ставший одним из первых указаний на глубокие связи многомерного комплексного анализа и симплектической геометрии. Результаты; полученные в этом направлении важны для описания полиномиальных оболочек и оболочек голоморфности, для понимания топологии псевдовыпуклых областей и многообразий Штейна, в симплектической и контактной геометрии.
Наиболее хорошо изучен на данный момент случай вещественной сферы, вложенной в Гранину, первые результаты для которого были получены
Э. Бедфордом и Б
Вторая ситуация - это диски, подклеиваемые к СЯ-подмногообразию комплексного пространства. Систематическое изложение этой конструкции было проведено в классической работе Э. Бишопа и с тех пор такие диски стали одним из основных технических средств при работе с СЯ-подмпогообразиями, анализе их геометрии и изучении свойств СЯ-отображений таких многообразий, возникавшими в работах М. Бауэнди и Л. Ротшильд,
Пусть X - одна из гиперболических точек 5, в которой мы провели модификацию, X' - близкая к X гиперболическая точка 5'. Пусть Р(х) -непрерывная функция на 5", линии уровня которой - это края подклеенных к 5" дисков и которая в композиции с некоторым гомеоморфизмом 5' —» 5' оказывается функцией Морса. Пусть Р(Х') = 0 и Р отрицательна на краях того однопараметрического семейства дисков, которое вблизи X' реализует случай г) предложения 1.8.
Обозначим через Де какой-либо из подклеенных к £>' дисков, который лежит вне ие(Х), пересекается с [/(Х), не проходит через гиперболические точки 5" и на краю которого Р < 0. Д£ подклеен к 5 и <9Де делит 5 на две части. Если для сколь угодно малых є одна из этих частей не содержит гиперболических точек, то, значит, все эти диски принадлежат какому-то из семейств Dj (Т), так что предельное множество для этого семейства содержит начало координат, т. е. мы приходим к противоречию со сделанным предположением. Таким образом, для некоторого є край Л£ делит 5 на две части, в каждой из которых число гиперболических точек меньше К. Применение предположения индукции завершает построение.
в) Предположим, что для некоторого К К на всяком из семейств Dj(t) при і К для всякой предельной для этого семейства гиперболической точки реализуется только один из случаев а), б) или в) предложения 1.8, а при 3 > К - только случай г). Если К — К, то мы приходим к рассмотренному выше случаю б). Будем считать поэтому, что Кг < К.
Заметим, что если j К, то В,(Т) состоит из единственного голоморфного диска.. Если же і > К то Иу(7') может включать в себя несколько голоморфных дисков, но зато в этом случае оказывается односвяз-
ным.
гц) Существует j > Кг такое, что всякий голоморфный диск, из числа составляющих /ф(Т), является предельным также и для одного из семейств Ий с А; < Кг. В силу связности 51 это означает, что Кг = К — 1 и построение закопчено. При этом та часть в формулировке теоремы, согласно которой края голоморфных дисков рисуют на 5 такую же картину, что и линии уровня некоторой морсовской функции, оказывается верной в силу односвязности
ОЛТ).
Вг) Существует j > Кг такое, что всякий голоморфный диск, из числа составляющих £);(Т), за исключением одного, является предельным также и для некоторого из семейств И а- с к /Сп В этом случае доказательство существования семейства голоморфных дисков проводится так же, как в п. аі).
в3) По крайней мере два диска из числа составляющих Dj{T) при всяком І > Кг не являются предельными для 7ф(Т) с j < Кг- Пусть Ко таково,