Спектральные разложения гельдеровских функций и краевые задачи Римана-Гильберта для ЭС-уравнения

• Автор: Шистеркина, Светлана Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Глава 1. Спектральные разложения и краевые задачи на отрезке и на действительной оси
1.1. Скалярное ЭС-уравнение 12 .
1.2. Собственные значения и собственные функции характеристического уравнения
1.3. Дисперсионная функция и её свойства
1.4. Разложение гёльдеровской функции по системе собственных функций на отрезке
1.5. Разложение функций из некоторых классов
на действительной оси
1.6. Свойства собственных функций характеристического уравнения на отрезке и на действительной оси
Глава 2. Спектральное разложение на полуоси и его приложение
к решению граничных задач
2.1. Однородная краевая задача Римана-Гильберта и
ее применение к снектральному разложению на полуоси
2.2. Свойства собственных функций характеристического уравнения на действительной полуоси
2.3. Граничные задачи и разложение их решений по системе собственных решений
2.4. Непрерывная зависимость решений от граничных данных
Библиографический список

Актуальность темы. Многие задачи кинетической теории газов, физики плазмы, другие проблемы естествознания моделируются при помощи интегро-дифференциальных уравнений. К этому классу принадлежит уравнение
Ит^-Ч'(х,р)+Ч'(х,р)= Гр(ц,р'>|/(х,|л')1р'. (0.1)
Здесь хе(0,+<ю), ре(-оо,+со), р(р,р’) - ядро уравнения, |/(х,р) - неизвестная функщш.
Предметом исследования диссертации являются системы собственных функций некоторого класса интегральных операторов, возникающих в связи с изучением уравнения (0.1). В основе настоящей работы лежат разложения гёльдеровских функций по системе собственных функций характеристического уравнения для уравнения (0.1). Центральное место при вычислении коэффициентов этих разложений занимает решение краевой задачи Римана-Гильберта.
Получение явных аналитических представлений для решений уравнения (0.1) основано на классическом методе Фурье разделения переменных, когда общее решение линейного интегрального уравнения ищется в виде разложения по системе собственных функций соответствующего оператора. При этом оказалось, что у рассматриваемого уравнения (0.1) имеется как конечный набор собственных функций, отвечающий дискретной части спектра, так и континуальное множество собственных функций, отвечающих непрерывной части спектра. В отличие от классической ситуации, собственные функщш, отвечающие непрерывному спектру, являются сингулярными обобщенными функциями, и соответствующее разложение по ним задается некоторым сингулярным интегральным оператором с ядром Коши.

Развиваемый аппарат применяется к решению различных граничных задач для уравнения (0.1), в частности, задач вида
lim v|/(x,p)=4/0(r), Р>0, (0.2)
х-н
lim — ч/(х,р)=ао, р<0, (0.3)

или, что то же, v|f(x,ji)=v|+оо, ц<0.
Здесь |/о(р) - произвольная функция, удовлетворяющая условию Гёльде-ра на положительной полуоси, ао - заданная постоянная, i|/as(x,p) есть линейная комбинация частных решений уравнения (0.1). В основе решения таких задач лежит метод разложения решения граничной задачи по системе частных (собственных) решений уравнения (0.1), который, в свою очередь, основан на возможности разложения произвольной гельдеров-ской функции по системе собственных функций характеристического уравнения.
Хотя различным конкретным граничным задачам для уравнения (0.1) посвящено большое число работ, общий случай граничных условий изучен не был. Данное диссертационное исследование ставит целью обобщить как уже существующие методы качественной теории интегральных уравнений, так и предложить новые приемы для построения законченной теории решений краевых задач (0.1)—(0.3) общего вида, включающей в себя условия существования и единственности решений краевых задач, описание свойств этих решений и получения для них точных аналитических представлений.
В литературе уравнение (0.1) с ядром
р(р,р')=-т=[ехр(-Ц2|1-W*')
л/Я
получило название эллипсоидально-статистического уравнения (ЭС-уравнения). Это уравнение возникает при описании сдвигового течения газа вдоль плоской поверхности.

2гу. 2£С, где Фк=-1 хкр(х)/(х)ёх. (5.10)
к=1 2 -оо
Доказательство. Покажем, что при любом натуральном N справедливо Мф
равенство Ф(г)=^—у+0(2" ), г—но, гєС, (5.11)
М 2Г
где Ф(г)= Г -^-^ёх, гєС, 1тг^0,Фк=- [ хк4и(х)ёх, к=1,2,
І.г т /. у,
При достаточно большом |г| функцию Ф(г) можно представить в виде суммы: Ф(г)=Фі (г)+со(г)+<э і(г)+у(7),
где Фі(г)= I -^ёх,
»Ж т ~
|х±|г||>1
(область интегрирования показана штриховкой на рисунке 4),
Иі(2)=н}ч_иііійт>у(2>, І АйЛт,
і4-1 Т - 2 -И-ІТ-2 -л/Н1

-И-1 -н+1 --^м' о "ЖГ м-1 М1-Ы х
рисунок
Оценим отдельно каждую из функций Ффг), ®(г), шфг), у(г).
1) В интеграле, определяющем функцию Ффг), имеем: |х-г|>1, |х|>1.
Поэтому 1/|т-г|<|х|, |Ф](г)|< | | - ^ ёх< ||хи(х|ёх<С |.т;ехр(-ах2)ёх=
=2С х ехр(-ах2)ёх=-—ехр(-х2)|°°Г;=— ехр(-|г|),
£? а и2' а