Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта и трубчатых областей в C2

• Автор: Солдаткин, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с. : ил.

Обозначения и терминология Основные результаты диссертации ГЛАВА 1. Рейнхартовы области голоморфности в С2 §1.1. Максимальные торы и группы автоморфизмов гиперболических областей Рейнхарта §1.2. Классификация областей Рейнхарта и их группы автоморфизмов §1.3. Доказательство теоремы 1.1.
1.3.1. Класс Б2
1.3.2. Класс Б1И
1.3.3. Класс е
1.3.4. Класс аиг
1.3.5. Классы д,з и С2{г|Д2 = 0}
1.3.6. Оставшиеся классы
ГЛАВА 2. Области Рейнхарта общего вида в С2 §2.1. Торы и дендриты §2.2. Свойства дендритов * §2.3. Дендриты и дуги
§2.4. Дуги и гиперповерхности §2.5. Доказательство теоремы 1.1.
2.5.1. Классы Б2, Б1И, е
2.5.2. Класс аиг
2.5.3. Классы д, з и С2{г]Д2 = 0}
2.5.4. Классы в, ж
2.5.5. Класс б
2.5.6. Класс С2
2.5.7. Класс С2 {г,= 0}, С2 {г2= 0}
ГЛАВА 3. Гиперболические трубчатые области в С2
§3.1. Голоморфная классификация трубчатых областей §3.2. Трехмерная группа автоморфизмов §3.3. Трехмерная группа с одномерным коммутантом §3.4. Трехмерная группа с двумерным коммутантом СПИСОК ЛИТЕРА'1'УРЫ

В этой диссертации исследуются задачи о голоморфной эквивалентности для областей Рейнхарта и для трубчатых областей в С2. Доказывается, что две голоморфно эквивалентные области Рейнхарта мономиально эквивалентны (теорема
1.1, стр.13), а две голоморфно эквивалентные гиперболические трубчатые области аффинно эквивалентны (здесь есть исключения, вес они описаны) - теорема 3.1, стр.58. Эти результаты позволяют для двух таких областей вопрос о голоморфной эквивалентности свести к вопросу об аффинной эквивалентности некоторых двух областей на плоскости К2.
Напомним, что область Рейнхарта в С" - это область, инвариантная относительно поворотов ьч> (ехр(і@І)гІ,...ехр(івп)гп), а трубчатая область - это область,
инвариантная относительно вещественных сдвигов (я 2„) ь-> (г, + .я,, +в„),
где в,...0„ є К - произвольные числа. Область Рейнхарта однозначно определяется своей проекцией на координаты (|г, |,... гп |) - так называемой диаграммой Рейнхарта,
а трубчатая область определяется своей проекцией на координаты (1т^ 1тгп)
базой і рубчатой области. Между областями Рейнхарта и трубчатыми областями имеется связь - голоморфное накрытие (г, (-> (ехр(іг,),.. .ехр(ігп)) переводит
трубчатые области в области Рейнхарта. Это не взаимно-однозначное отображение, поэтому, собственно, трубчатые области и области Рейнхарта - разные объекты, хоть и во многом схожие. Эта тесная связь породила метод исследования по аналогии. Но у такого подхода есть серьезный недостаток - не любая область Рейнхарта является образом трубчатой (если область Рейнхарта содержит точки, принадлежащие координатным осям). Мы будем исследовать области Рейнхарта и трубчатые области отдельно.
Интерес к этим областям неслучаен - они являются естественными областями определения степенных рядов и интегральных представлений, часто возникают в анализе как классические примеры, а трубчатые области над конусами возникают в физике. Давно известны результаты, описывающие голоморфную оболочку таких областей, причем в самом общем случае. Изучались их автоморфизмы. Без сомнения, это наиболее исследованные области в многомерном комплексном анализе ([Ф]). При всем этом задача их голоморфной классификации не была окончательно решена.

В одномерном случае области Рейнхарта - это круги, кольца (с центрами в 0) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, выглядит так: пусть Г) и А - голоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С. Тогда А можно перевести в А с помощью линейного отображения г ь» Аг или инверсии г ь-» Аг“ , то есть алгебраического отображения. Это - простая задача на принцип симметрии. Трубчатые области в одномерном случае - это полосы, полуплоскости (параллельные вещественной оси) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, для трубчатых областей тривиален: пусть Д и А — голоморфно эквивалентные трубчатые области в С. Тогда О і можно перевести в А с помощью аффинного отображения Аг + Ь,АєК,
6єС. Исключением является пара полоса - полуплоскость, когда экспоненциальное отображение нельзя заменить аффинным.
Диссертация посвящена двумерному случаю, когда задача становится намного сложней. Уже в одной из первых работ по многомерному анализу Пуанкаре [Роі] отметил, что бидиск и шар в С2 голоморфно неэквивалентны, потому что обладают неизоморфными группами автоморфизмов - у шара она 8-мерна, у бидиска - 6-мерна. Заметим, что и шар, и бидиск - это области Рейнхарта. Далее исследование задачи голоморфной эквивалентности (если такую общую задачу вообще разумно выделять) пошло двумя путями. Основной (и более поздний по происхождению) инициирован
Э.Картаном, когда вводились ограничения на группу автоморфизмов области, по сути эти исследования относятся к теории групп и алгебр Ли.
Другой путь - вводить ограничения на области и решать задачу эквивалентности в С2 (Рейнхарт, Туллен, А.Картан). Обобщения на более высокие размерности приводили бы к очень серьезным техническим трудностям. Тем не менее, это тоже продуктивный путь — он дает конструктивные результаты. Диссертация находится в этом же ряду. Для областей Рейнхарта получен окончательный результат. Теперь ясно, что ограничения на области, которые вводились до сих пор (ограниченность, гиперболичность, ограничения на топологию областей), несущественны и объясняются только техническими причинами. Это же должно быть верно и для случая С", п> 2.
Работ, посвященных задаче классификации областей Рейнхарта, достаточно много. Трубчатыми областями занимались меньше. Кратко опишем те работы, которые сыграли ключевую роль при написании диссертации.
Пусть сначала Dl и D-, - стандартные области г или такие области из а, которые можно биголоморфно (тогда и мономиально, это показано в начале параг рафа) отобразить на стандартную область г. Докажем теорему 1.1 в этом случае.
Итак, будем считать, что О, и Г>2 - стандартные области г. Следующее рассуждение будет с некоторыми деталями повторяться еще не один раз.
Рассмотрим инвариантные множества A'j = (Z>, Z)j) )° и
X, = (D2 D2)] (Z), I Д)°. По теореме 2.4 их можно разложить на меньшие инвариантные множества: X/ = InVjbCjUPjUlj. Если множество С, в этом разложении непусто, то применение теоремы 1.4 сразу завершает доказательство теоремы 1.1. Если Х2 целиком находится в [1о], тогда открытое ядро множества Dt Dt пусто и X} = D 1 Dj. В этом случае задача превращается в одномерную - плоскость г> = О, содержащая множество Х, является целой кривой и должна перейти в целую кривую - И’2 = 0, потому что именно она содержитXj. Мономиальное отображение, очевидно, существует.
Пусть Xj (2 [10]. Докажем, что тогда в разложении Xj = InvjUPjUlj обязательно присутствуют двумерные инвариантные торы. Пусть это не так, и все множество Xj ф [1о] состоит только из ln-плоских гиперповерхностей Pj(s). Тогда, учитывая связность
Dj, можно показать, что P/s) на ln-диаграмме выглядят как открытые интервалы или лучи, но не как прямые. Концевые точки этих интервалов или лучей изображают двумерные торы -они, очевидно, инвариантны. Рассмотрим отображение F , как автоморфизм стандартной области г. Нам известны все такие автоморфизмы, и инвариантность двумерного тора приводит к очень сильным ограничениям на них: Щи) = е'ви, В(и) = const (обозначения из леммы 1.4). Первое ограничение очевидно, докажем второе. Коэффициент растяжения (инверсии) |В(м)| - константа на окружности |w|= г < 1, соответствующей инвариантному тору. Так как В(и)Ф0, то но принципу аргумента В(и) - константа. Значит, F — мономиальное отображение.
Теперь разберем случай, когда И2 - области класса а, которые нельзя отобразить в область г.
При отображении таких областей, как было замечено, координатная прямая Z2 = О обязательно переходит в и-э = 0. Если Х с [1о], подходящее мономиальное