Исследование задач, возникающих при изучении функционально-дифференциальных уравнений, методами спектральной теории

• Автор: Медведев, Данил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

1 Уравнения нейтрального типа
1.1 Уравнения нейтрального типа первого дифференциального порядка
1.2 Уравнения нейтрального типа высокого дифференциального порядка
2 Уравнения запаздывающего типа
2.1 Уравнения запаздывающего тина первого дифференциального порядка
2.2 Уравнения запаздывающего типа высокого дифференциального порядка
3 Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве
3.1 Функционально-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами
Литература

Актуальность темы исследования. Основы теории функционально-дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве заложены в работах Л. Д. Мышкнса, Р. Веллмана, К. Кука, Н. В. Лзбелепа, Н. Н. Краеовского, Дж. Хейла, Л. Э. Эльсгольца. Ряд глубоких результатов для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных изложен в недавних монографиях Дж. Ву и А. Л. Скубаческого. Несмотря на значительное число работ, посвященных изучению фупкционалыю-днфференцн-альных уравнении нейтрального и запаздывающего типов, получение наиболее точных (нсулучшаемых) оценок их решений и изучение асимптотического поведения решений остается актуальной задачей, играющей важную роль в теории динамических систем и теории управления. Особый интерес в настоящее время представляет изучение функционально-дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах; при этом активно используются методы теории полугрупп и спектральной теории операторных пучков. Наиболее близкими в этом направлении являются работы В. В. Власова, Д. В. Якубовича, С. В. Лунела, Г. Ди Блазио, К. Куниша, Е. Сииестрари, В. Шанпахера. Результаты, представленные в диссертации, являются естественным развитием и обобщением результатов упомянутых авторов.
Большой интерес представляет собой исследование экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений. Свойства полноты и базиепостп систем экспонент и систем собственных п присоединенных функций иесамоеоиряжеиных задач изучались много и интенсивно. Наиболее близкими к тематике диссертации являются работы В. В. Власова, В. А. Ильина, А. Г. Костюченко, М. Г. Крейна, Б. Я. Левина, Н. Левинсона, В. Б. Лидского, II. С. Ломова, А. С. Маркуса, В. П. Михайлова, Е. II. Моисеева,
Н. К. Никольского, Б. С. Павлова, А. М. Седлецкого, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова.
Цель работы. Изучение вопросов асимптотического поведения решений фуикцио-иалыю-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, первого н произвольного дифференциальных порядков в различных функциональных пространствах, в том числе в пространствах Соболева. Рассмотрение в этой связи ряда спектральных вопросов, включающих в себя исследования полноты, минимальности и базиеностн систем экспоненциальных решений упомянутых уравнений. Изучение поведения решении функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве на основе исследования оператор-функций, являющихся символами этих уравнений.
Методы исследования. В работе использованы методы спектральной теории операторов и операторных пучков, а также теории целых функций, теории полугрупп и теории функционально-дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по спектральной теории операторных пучков (оператор-функций), теории функционально-дифференциальных уравнений, а также в дальнейших исследованиях в ряде математических задач теории управления и задачах математической теории распространения тепла в средах с памятью.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Установлены утверждения о полноте, минимальности и базиеностн Рисса систем экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального тина в пространствах Соболева и других функциональных пространствах. На основе этих результатов получены неулучшаемые оценки решений упомянутых функционально-дифференциальных уравнений.
Получены неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных урав-

нений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Установлены результаты о разложении решений упомянутых уравнений в сумму линейной комбинации экспоненциальных решений и функции с меньшим показателем экспо-ненциалыюго роста на основе результатов о поведении и оценках оператор-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра, являющихся символами рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнении.
Получены результаты об асимптотическом поведении и неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа и в конечномерных пространствах.
Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ, излагаются цели, методы и основные результаты исследования.
Глава 1 посвящена изучению функционально-дифференциальных уравнении нейтрального типа. Особый интерес к таким уравнениям обусловлен тем, что, в отличие от уравнений запаздывающего типа, они изучены в значительно меньшей степени. При этом для нейтральных уравнений реализуются так называемые критический и сверхкрити-ческнй случаи (т. е. когда имеются цепи корней характеристического квазимногочлена, приближающиеся или лежащие на мнимой оси), которые представляют особый интерес. Дело в том, что при изучении таких уравнений традиционными методами (например, используя преобразование Лапласа и его обращение) возникают трудности, связанные с тем, что при обращении преобразования Лапласа прямая, параллельная мнимой оси, по которой производится интегрирование, должна находиться на положи тельном расстоянии от спектра (множества нулей характеристической функции).
В первом параграфе первой главы рассматривается традиционная начальная задача для функционально-дифференциального уравнения вида
Здесь М : С([-/г,0],Сг) —> Сг, К : ((—/*, 0),С) -* С - ограниченные линейные
операторы, имеющие вид
где ftjn матрица-функция ограниченной вариации, заданная на отрезке [—/(,0]; цк и 7/д' - матрицы-функции размера г х г, элементы которых принадлежат пространству
0). Через щ обозначена вектор-функция ut(s) = u(t + а), t > Ü, заданная на отрезке s Є (—Л,0]; постоянная h > 0.
Обозначим через Ч'|л((«,1і),С''), (—оо < а < Ь < +оо), р= 1,2 весовые пространства Соболева вектор-функции со значениями в Сг, снабженные нормами
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.
■jrMut = Kut + f(t), t > 0, dt
Ms) = 9{s), s Є [—/і,0].
(1)
(2)

1.2 Уравнения нейтрального типа высокого дифференциального порядка
Рассмотрим традиционную начальную задачу для дифференциально-разностного уравнения вида
пт т (i
Е ~+ Xw Д>(А')“0)(* - ÿ)ds = /(*)> t > 0, (1.2.1)
к=0 1=0 1=0 J
«(*) = з(0>te Н'.о]. (1.2.2)
Здесь /lj.j - матрицы размера г х г с постоянным комплексными элементами, элементы матриц-функций Bj(s) принадлежат пространству Ьо{0,Ь), числа /ц таковы, что 0 = /г0 < hi < ■ ■ • < /г„ = h.
Обозначим через L(А) матрицу-функцию вида
пт т
ьм = ЕЕ л^е-АЛ* + ЕА' / e-A^i(6)c/s>
А=0 1=0 1=0 "
через /(А) = detL(A) - характеристический квазнмноточлен уравнения (1.2.2), через А(/ нули функции /(А), упорядоченные в порядке возрастания модулей с учетом кратности, через Л - множество всех нулей функции /(А).
Собственные векторы, входящие в каноническую систему собственных н присоединенных (корневых) векторов матрицы-функции Ь(А), отвечающих числу ,г обозначим через Xqjfl, их присоединенные порядка к - через Xqj.fc (подробнее см. стр. 1C).
Введем систему экспоненциальных решений однородного уравнения (1.2.1)
fk fk-l
Vq,j,k(t) = а 4 (дфтч,1,0 + „ _ jjI■k'lj,I + • • • + Xqjji). (1.2.3)
Обозначим через И^((а,b),Сг), (—оо <а <Ь< +оо), р = 1,2 весовые пространства Соболева вектор-функции со значениями в Сг, снабженные нормами

ии1и?,м) = ( / ^((Е \ги)тшув, 7 > о.
« i=°
Здесь и в дальнейшем И^о = v^t) = ypv(t), p,j — 1,2,
Определение. Вектор-функцию и, принадлежащую пространству Сг) при
любом Т > 0, казоеел! сильным решением задачи (1.2.1), (1.2.2), если и удовлетворяет почти всюду па полуоси П+ уравнению (1-2.1) и условию (1.2.2).
Приведем результат о разрешимости задачи (1.2.1), (1.2.2) в пространстве Соболева
И'&((-М),С').*
Лемма 1.2.1. Пусть (let А0т ф 0, начальная функция у принадлежит пространству V{{—/i,0),Cr), функция / принадлежит пространству L2Л1((0,+оо),Сг) при некотором 7i > 0 . Тогда найдется такое уо > 0, что для любого у > уа задача (1.2.2), (1.2.1) однозначно разрешима в пространстве 1Г2 ((-/г,0),Сг), при этом для ее решения и справедливо неравенство
IMI»'2m,(Hb+=’°)£r) < (/о(|Ы|1Г"'((-Л,0),С-') + ll/IUi.,((0,+3c),C)) с постоянной do, tie зависящей от (функций у и /.