Исследование масштабированной энтропии фильтраций сигма-алгебр

• Автор: Горбульский, Александр Давидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

§0. Введение

Глава 1. Основные понятия теории фильтраций

а- АЛГЕБР

§1. Допустимые метрики и метрика Канторовича

§2. Итерированные полуметрики, построенные по фильтрации, и критерий стандартности

§3. Башня мер

§4. Критерий стандартности в терминах башни мер

Глава 2. Масштабированная энтропия фильтраций: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРИМЕРЫ

§5. Энтропия метрического пространства с мерой

§6. Определение масштабированной энтропии

§7. Экспоненциальная (комбинаторная) энтропия

Глава 3. Масштабированная энтропия фильтраций, порожденных случайными блужданиями по траекториям действия групп
§8. Скейлинг для случайных блужданий по траекториям
бернуллиевского действия групп
§9. Бесконечность роста энтропии стандартной фильтрации при субэкспоненциальном скейлинге
§10. Бесконечность роста энтропии эндоморфизма при субэкспоненциальном скейлинге

§11. Связь комбинаторной и масштабированной энтропий
§12. Основной инвариант и интерполяции стандартных фильтраций. (Интерполяционные последовательности с большим скейлингом)
Глава 4. Вычисление масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайных блужданий НА коммутативных и нильптентных
группах
§13. Случайные блуждания и действия групп. Пример Каликова
§14. Нестандартность фильтрации прошлых случайных
блужданий по траекториям действий решеток
§15. Регулярность
§16. Вычисление масштабированной энтропии прошлых случайных блужданий на коммутативных и нильпо-тентных группах

§0. Введение
Актуальность темы. Диссертация посвящена теории убывающих последовательностей ст-алгебр, или фильтраций ст-алгебр. Важность этой теории отмечаась в статьях А. Н. Колмогорова, В. А. Рохлина, Дж. Дуба, М. Розенблатта и др. С позиций общей теории меры и эр годи ческой теории ее исследовали А. М. Вершин, В. Г. Винокуров и их ученики. Изучение фильтраций ст-алгебр стало особенно актуально после их появления в теории случайных процессов и в теории апроксимации эргодических преобразований. Одной из первых задач этой теории является классификация фильтраций а- алгебр.
Вопрос о классификации фильтраций ст-алгебр возник после того, как А. М. Вершиком было доказано, что существует континуум метрически неизоморфных однородных (например, диадиче-ских) фильтраций ([1, 2]). Инварианты фильтраций могут служить источником для построения инвариантов автоморфизмов и эндоморфизмов, а также для построения характеристик стационарных процессов, которые не меняются при кодировании.
Наиболее удобными инвариантами фильтраций ст-алгебр являются инварианты энтропийного типа. Они были определены в работах А. М. Вершика и использовались в работах Д. Рудольфа, К. Хоффмана, Д. Хейклен. Наиболее простым является энтропия фильтраций (экспоненциальная) которая совпадает в некоторых

Лемма 3.6. Для любого множества А, измеримого отно-

сительно некоторого 7n= V Vi> и любого множества В, не пере-

секающегося с ним (ДАП В) — 0), энтропия объединения А и В будет не меньше, чем энтропия В: Н^ДАи В)) >Н('уДВ)).
Доказательство. Проверим, что разбиение 'уДАиВ) будет мельче, чем 7(В). Предположим х ~7„(лив) У, это означает, что функции бливЫ) = 6AjB(ya{ï))-Здесь Xi,yi - элементы СДх) и Сп{у) соответственно.
Множества А и В не пересекаются, значит 8au в = 8а +8в-Получаем
"б 8Ц(-Т/) Фд(Уа(г)) "б Фп(Уа(г))
Так как А измеримо относительно тто есть 8a(xî) = Фд(Уг) — 8i, получаем тождество
Ф Т 8B{Xi) • <5а(г) Т Ф?(Уа(г))'
Если предположить, что автоморфизм переставил элемент i и а (г ) местами И ф О фщ), ТО получаем либо 5В{Х{) — 1, 8в(уа(г)) — О и для индекса а(г) фд(жг) = 1, 5B(ya{i)) = 0, либо фДж*) = 0, 5B(ya(i)) = 1 Получаем либо тождественный автоморфизм, либо а совмещают функции 8B(xi). Таким образом, заключаем, что равенство