О рациональности z-преобразования решений многомерных разностных уравнений и их асимптотике

• Автор: Ляпин, Александр Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

1. Разностные уравнения и последовательности Риордана

1.1. Задача Коши для многомерного разностного уравнения с

постоянными коэффициентами

1.2. Обобщение основного рекуррентного соотношения

1.3. Последовательности Риордана, ассоциированные с парой

рядов Лорана

1.4. Описание рациональных последовательностей Риордана как

решений двумерных разностных уравнений

1.5. Примеры рациональных последовательностей Риордана

2. О рациональности 2-преобразования решений многомерных разностных уравнений и преобразования Гурвица
2.1. Рациональные производящие функции решений задачи Коши для многомерных разностных уравнений
2.2. Известные обобщения классической композиции Гурвица
двух рядов на многомерный случай
2.3. Преобразование Гурвица кратных рядов Лорана
2.4. Алгебранчность преобразования Гурвица рациональных
функций
3. Асимптотика решений некоторых разностных уравнений
3.1. Асимптотика рациональных последовательностей Риордана

3.2. Асимптотика фундаментальных решений двумерных разностных уравнений специального вида
3.3. Разложение на простейшие дроби и асимптотика коэффициентов рациональных функций
Заключение
Список литературы

Введение
Теория конечно-разностных уравнений развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и в случае линейных уравнений имеет вполне законченный вид. Она нашла широкое применение как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторном анализе.
В многомерном случае ситуация значительно сложнее и сколько-нибудь законченной общей теории конечно-разностных уравнений не создано. Отметим работу Н. Levy, F. Lessman (1959 г.), в которой для двумерного случая рассмотрены способы построения общих решений для некоторых видов разностных уравнений ([36]). В монографии Д. Даджиона и О. Мер-серо (1988 г.) двумерные разностные уравнения использовались в теории цифровой обработки многомерных сигналов для конструирования цифровых рекурсивных фильтров ([3]). В случае двух переменных задача об устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена в работе А.К. Ци-ха (1991 г.).
В работе М. Bousquet-Melou, М. Petkovsek многомерные разностные уравнения изучались с точки зрения применения к задачам перечислительного комбинаторного анализа. В ней сформулирована задача Коши для многомерного линейного разностного уравнения и доказана теорема существования и единственности решения этой задачи ([32]).
В работе Е.К. Лейнартаса (2007 г.) приведена формула для решения задачи Коши с использованием понятия фундаментального решения ([10]).
Метод z-преобразования (метод производящих функций) является мощным средством исследования разностных уравнений как в теории дис-

и приведено разностное уравнение для гт(х,у):
гт(х + 2, у + 1) - гт(х + 1,у + 1) - гт(х + 1,у) - (т - 1 )гт(х,у) = 0.
Рассмотрим задачу Коши для данного уравнения, указав «начальные» значения на множестве Хгд = {(гс, г/) Е : (х, у) ~ф- (2,1)}:
1, если х 0, у = 0,
<р(х> у) = * 0, если х — 0, у 1 или х — 1, у 2, т, если (ж, у) = (1,1).
По теореме 2.2. найдем производящую функцию для коэффициентов гт(х,у):
Р(г)с1(г) г
Т)( 2 И)} —
1’ ’ Р(.г)и> - $(*) ф - 1)7/; - г - (ш - 1) ’
Используя теорему З.1., вычислим асимптотику г(х,у), например, при т = 2. Точка (го, гло) является решением системы
™ = Й)
Д (дЙ) ~ 5+1)
Наибольший вклад в асимптотику даст точка (го, тло) вида
(1 + у/(ц - I)2 + 1 (ц - 1)(Л/2 - 2// + /Д + /г)
/х-1 ’ (2 + v/2 - 2ß + /х2 - р)(1 + х/2 - 2р + р2)/ '
Далее,
zo(zo - !) ’ -o-l
и, применяя формулу (3.7), ДЛЯ 2 > 1 получим
г(х, у) ~ — - ° [г0р]А,
sj2-Kq{ß - 1)((р - 2)г0 - р)(г0 - 1)
х = Ар, у = Ад, А —> оо.
Пример 3. Рассмотрим последовательности из гг элементов «щг-.-ап, причем = 0 и aj Е {0,1} для 2 j п. Элемент последовательности aj