Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений

• Автор: Кобычев, Кирилл Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Список обозначений
Введение
1 Основные понятия и используемые результаты
§1.1 Некоторые сведения из теории операторов
§1.2 Некоторые сведения из теории векторных функций,
спектрального анализа и теории банаховых алгебр
§1.3 Сильно непрерывные полугруппы операторов. Производящий оператор
§1.4 Основные функциональные пространства
2 Оценки оператора вложения пространства Соболева
периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
§2.1 Оценки в теореме вложения пространства Соболева
для периодических функций
§2.2 Условия обратимости дифференциальных операторов
§2.3 Оценки ограниченных решений
§2.4 Оценка периодического решения квазилинейного
уравнения
3 Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений
§3.1 Вспомогательные результаты
§3.2 Доказательства основных результатов
§3.3 Теорема о представлении решения на полуоси

Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ж - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
К+ = {г Є М : £ > 0};
Т = {АєС:|А| = 1}- единичная окружность;
Дв = {(£, з) Є К х М : в < £};
X, ¥ - комплексное банахово пространство;
Я - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением
ЕпсіХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств; ||А|| - норма оператора А Є ЕпйХ;
Я = И {А) - область определения оператора А : Е(А) с Х —> Хо) С(А) - график оператора А : И (А) С Х —> Л'г;
КегА - ядро оператора А : Я (А) с Х —у Х2;
1тА - образ оператора А : Я(А) с Х —» Х2;
р(А) - резольвентное множество оператора А : И (А) С X -> Х
!{(-. А) : р(А) —> ЕпсіХ - резольвента оператора

А : О (А) С X -> Х
сг(А) = С р(А) - спектр оператора А;
г(А) - спектральный радиус оператора А]
А-1 - обратный оператор;
Ы : А® —> Етм1Х - семейство эволюционных операторов;
Сь!и(11, X) - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных функций;
Со(М, X) - замкнутое подпространство функций х из Сь,„(7, X), обладающих свойством Нт-оо ||ж(£)|| = 0;
б’зфМ, X) - подпространство £„(<7, X) медленно меняющихся на бесконечности функций;
СШ(М, X) - банахово пространство непрерывных периодических периода ш > 0 функций, определенных на вещественной оси К со значениями в Х
1£(М.,Х), р Е [1, оо] - банахово пространство измеримых (по Бохнеру) суммируемых со степенью р Е [1, сю) (существенно ограниченных при р = оо) периодических периода и > 0 (классов) функций, действующих ИЗ К В X]
ИАШ(М, X), р Е [1, оо] - пространство Соболева, состоящее из абсолютно непрерывных функций х Е Ь(М,Х), для которых т€Ь£(К,А);
- гильбертово пространство, состоящее из функций х Е таких, что х - абсолютно непрерывна и ж €

со скалярным произведением < х,у >= §(х),у(1))сИ + + 1о(х(> №))&> Х’У е н)-

Тогда функция жД) = Ы(Ь, 0)а?о, < £ К, является ш-периодической функцией и х € КегСц (в (2.9) следует положить / = 0). Следовательно, ж = 0, и поэтому жо = 0. Итак, 1АШ - инъективный оператор.
Докажем сюрьективность оператора. Пусть у - произвольный вектор из X. Рассмотрим непрерывную ш-периодическую функцию д — ду £ СЦИ, X) С ХШ(Х), определенную на [0,и;] равенствами:
где р - периодическая периода и функция и ір(і) = 6ш — £), Ь Є [0,ш]. Таким образом, определен и ограничен оператор В : X —> ХШ(Х) вида: Ву = ду, у Є X.
Пусть / = В у и х — Сц~ / Из определения оператора /Д получаем, что верны равенства
Подставив в эти равенства і = получим, что х(ш) = 0)ж(0) +
Ы(и,0)у. Поскольку ж(ш) = ж(0), то верны равенства Ыш(ж(0) +у) = (1 - Ы(ио, 0))(ж(0) + у) = ж(0) + у — К(ш, 0)ж(0) — Ы(ш, 0)у = ж(0) + у — х(и) = у. Следовательно, Иш(х(0) + у) — у. Сюрьективность оператора Ыш доказана.
Достаточность. Пусть ж Є КегСц, т.е. ж Є О (Си) и / = Сих = 0. Следовательно, ж Є СДЖ, X) и х(і) = 1/(£,0)ж(0), і £
ду(і) = -<р(і)и(і,0)у, і Є [0,ш]
с , .+2 +3
= г/(*, о)ж(о) + -д(— - —)£/(*, о)у.