Слабая обобщенная локализация в пространствах Орлича

• Автор: Иванова, Оксана Константиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ
Введение
§1. Критерий справедливости слабой обобщенной
локализации в классе L(log+L)2
1°. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье
функций из класса L(log+L)2
2°. О справедливости слабой обобщенной локализации для
кратных рядов Фурье функций из класса L(log+L)2
§2. Критерий справедливости слабой обобщенной локализации в классе Ф(Г), где Ф(м) = о{и log+ log+ и) при и —У оо
1°. Вспомогательные утверждения
2°. Слабая обобщенная локализация в классе Ф(L), где
Ф(н) = o(ulog+ log+ и) при и —> оо
Глава II. МАЖОРАНТНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ ДВОЙНЫХ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА, РАВНЫХ НУЛЮ НА НЕКОТОРОМ МНОЖЕСТВЕ
Введение

§1. Мажорантные оценки для двойных интегралов Фурье
§2. Мажорантные оценки для двойных рядов Фурье
Глава III. МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА СХОДИМОСТИ И МАКСИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА
Введение
§1. Структура и геометрия ММС и ММНР почти всюду кратных рядов Фурье функций, равных нулю на некотором множестве
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
1. Рассмотрим У-мерное евклидово пространство ]ЕЛ", элементы которого будем обозначать х = (ад
Для любого Лей1 определим множество Мд = {ж е К"у : XI > Л, = = 1
Пусть Ф : [0, оо) —> [0, оо) - неубывающая функция. Через Ф(Д)(ГЛ ) обозначим множество суммируемых на Тл = {х Е ДЛ? : —7г < Xj < 7Г, 3 — 1,. , N} функций / таких, что
/ Ф(|/(®)|)<*® < °°5

а через Ф(Д)(ЕЛ ) — множество суммируемых на Мл* функций д таких, что
/ Ф(д(х))&в< оо.
Если Ф(и) — ир, то обозначим Ф(Ь) = Lp(TN), р > 1, если Ф(ц) = it log+ и, где log+w = logmaxjl,и}, то Ф(Ь) = Llog+ L.
Пусть 27Г-периодическая (по каждому аргументу) функция /(ж) Е Е Ф(Е)(ТЛ), N > 1, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:
/(*) ~ Е (о-l)

Для любого вектора п = (щ
s»(*;/)= Е Е (о.2)
частным случаем которой является квадратная частичная сумма Sno(x] /), когда щ = щ = ... = njv = по- При этом под сходимостью ряда в (0.1)

[О, оо), удовлетворяющей условию Ф(и) = о(иlog+ log+ и) при и —> оо, существует функция / € Ф(Ь)(Т2), такая, что f(x) = 0 на 21, wo
Jiirn |5п(ж; /)| = +оо почти всюду на Тл I?0.
3. В частности, если множество 21 вообще не обладает свойством Bi, то для любой неубывающей функции Ф(и), и Е [0, оо), удовлетворяющей условию Ф{и) = o(wlog+ log+ и) при и —У оо, существует функция fi 6 Ф(Ь)(Т2), такая, что fi(x) = 0 на 21, wo
((ж;/i)[ = -foo почти всюду на TN.
Конструкция, используемая в доказательстве теоремы была предложена И.Л.Блошанским в работе [14]. Необходимость в этой теореме устанавливается с помощью функций из классов Ф(Х)(Т1), Ф(п) — о(и log+ log+ и) при и —> оо, построенных Т.Кернером в [31] или С.В.Конягиным в [32], одномерный тригонометрический ряд Фурье которых неограниченно расходится всюду на Т1.
Если нас не интересует вопрос о том, на каких подмножествах 2li С 21 существует предел Jim Sn(x; f) = 0 при условии /(ж) = 0 на 21, а на каких нет, то можно дать ’’компактную” формулировку теоремы I.III.
Теорема I.III'. Пусть 21 - произвольное измеримое множество , 21 С TN, N > 1, /i2l > 0, и пусть 2t удовлетворяет условиям (1.8) и (1.10). Тогда на множестве 21 в любом классе Ф(Ь)(ТМ), где неубывающая на [0,оо) функция Ф(г«) удовлетворяет условию Ф(и) = o(ulog+ log+ и) при и —У оо справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду тогда и только тогда, когда множество 21 обладает свойством Вц.
Заметим, что в работе [14] были даны обобщения теорем А и В в плане ослабления ограничений (1.8), (1-9) и (1.10) на множество 21 (см. [14], теоремы 4 и 5). Очевидно, эти обобщения справедливы и в нашем случае.