Объёмные отношения и оценки расстояний между конечномерными нормированными пространствами

• Автор: Храбров, Александр Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление

§0. Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Основные обозначения

§2. Предварительные сведения о нормированных пространствах 12 Глава 2. Объёмные отношения и модифицированное

расстояние Банаха-Мазура

§3. Связь между объёмными отношениями и расстоянием д(Х, 1”) 27 §4. Оценки норм операторов через норму Гильберта-Шмидта

и расстояния между пространствами £рп

§5. Логарифмическая выпуклость модифицированного расстояния Банаха-Мазура относительно размерности

§6. Сравнение расстояний с1(Х, У) и д(Х, У)

§7. Верхние оценки объёмных отношений и расстояния д для

пространств £р
§8. Нижние оценки объёмных отношений
§9. Некоторые следствия
Глава 3. Расстояния между суммами нормированных
пространств
§10. Оценки норм операторов, действующих из £р ® £% в £гп ® 1ап 59 §11. Вычисление расстояний и объёмных отношений для сумм
пространств £р
§12. Объёмные отношения для пространств £р разных размерностей

Глава 4. Пространства с безусловным базисом
§13. Объёмные отношения для пространств с 1-безусловным
базисом
§14. Сечения пространств с безусловными базисами
§15. Расстояние Банаха-Мазура до пространств вида X 0 1 .
Литература

§0. Введение
Теория банаховых пространств начала свое самостоятельное существование в двадцатых годах XX века с развития общей теории нормированных пространств в работах польского математика Стефана Банаха и венгерского математика Фридьеша Рисса. Появление абстрактных пространств привело к геометризации основных понятий и позволило трактовать многие вопросы анализа в терминах геометрии. Поэтому в проблематике теории банаховых пространств важное место занимают геометрические направления: геометрия единичной сферы и геометрия подпространств. Центральную роль в изучении геометрических свойств банаховых пространств играет расстояние Банаха-Мазура, впервые появившееся в монографии Банаха [1].
В настоящее время большинство исследований в теории банаховых пространств сконцентрировались в области локальной теории, возникшей в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [56, 57] и теоремы Дворецкого [48] о почти сферических сечениях выпуклых тел.
Локальная теория изучает структуру конечномерных пространств и отношения между бесконечномерными банаховыми пространствами и их конечномерными подпространствами. Развитие теории показало, что многие свойства бесконечномерных банаховых пространств обусловлены только их локальной структурой (совокупностью всех конечномерных подпространств данного банахова пространства).
Тривиальные в конечномерной ситуации качественные вопросы геометрии бесконечномерных пространств оказываются содержательными и важными, если изучать их количественные аналоги. Во многих из них решение конечномерной задачи не только дает ответ на соответствующий вопрос бесконечномерной задачи, но и позволяет получить дополнительную информацию.
В семидесятых годах для построения пространств, не обладаю-

Предположим далее, что detT = ±1 и покажем, что оценки, следующие при га = и из леммы 4.3 и неравенства Адамара, точны по порядку.
Лемма 4.4. Пусть 1 ^ Р,Ч ^ со, 1/р + 1 /р' = 1 и 1/q + 1/q1 = 1, тогда
1. Если (р — 2)(q — 2) > О, то inf{||T||^_^? : | detT| = 1} =
2. Если 1 ^ р ^ 2 q, то
(2 + V2) • ^ inf{||T||^< : | detT| = 1} ^
3. Если 1 ^ q ^ 2 ^ р, то
(1 + у/2) ■ п*~р ^ inf{j|T||^^ : |detr| = 1} ^ -2= • т~р.
Доказательство. Нижние оценки вытекают из предыдущей леммы и неравенства Адамара (точнее леммы 2.15). Докажем верхние.
1. Если р ^ q, то
inf{|lrlk->« : ldetTl = 1} < \id\^n =1 inf(llTlk^ : I detTl = i} < \Щ^ек =
Таким образом нижняя оценка точна.
2—3. Если 1 ^ р ^ 2 ^ д, то имеет место неравенство
(l + x/2)-«max(lHMHl} ><*(££,£*) >
^ bf{||T||M : | detT| = 1} -тДЦГЦ^Р : |detT| = 1} >
^ J_ . „(И-О-гИ . n(H)+ ^ _L . nmax(lHl>lHl}.
y/2 y/
Кроме того, Откуда и вытекают верхние оценки пунктов 2 и 3. □
Вычислим далее объёмные отношения для пространств lvn. Объёмы единичных шаров в tvn хорошо известны, (см., например, [22, гл. XVIII]):
то1Д,, = 2..ад±д;
Г(п/р + 1)