Формулы следов для возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком

• Автор: Зыкова, Татьяна Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЗАМКНУТЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОТОКОМ
1.1. Предварительные сведения
1.1.1. Многообразие ML
1.1.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML
1.1.3. Спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами
1.2. Построение и вычисление регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на ML
1.2.1. Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь — —Амь + В и —Амь
1.2.2. Построение регуляризованного следа для собственных чисел
операторов —Aml + g и —Амь
1.2.3. Сведение общей формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —А + q и
1.2.4. Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-
Бельтрами
1.2.5. Вычисление формулы регуляризованного следа оператора
Лапласа-Бельтрами на ML
1.3. Задача нахождения регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения
1.3.1. Общий вид метрик в случае общего положения
1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения

1.3.3. Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-
Бельтрами на многообразии в случае общего положения
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящей работы является исследование задач теории регуля-ризованных следов дифференциальных операторов на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими. В диссертации исследован спектр, дзета- и тета-функции и получены формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на разных типах многообразий с замкнутым геодезическим потоком.
Известны два основных метода исследования распределений собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром: вариационный принцип (Г. Вейль [37], Р. Курант [9]) и резольвентный (Т.Карлеман [26]). Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен к гладкости коэффициентов, границы области и т.п., его же недостаток в том, что он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. С резольвентным методом, который основан на изучении резольвенты рассматриваемого оператора (или другой функции от него) и последующем использовании тауберовых теорем, связаны многие важнейшие достижения в области спектральных асимптотик: метод гиперболического уравнения (В.Г.Авакумович [25] и Б.М.Левитан [10]) и метод параболического уравнения (С. Минакшисун-дарам и А. Плейль [32]). Подробный обзор по тематике спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных можно найти в [15]. Приведем основные результаты этой теории.
Пусть ЛГ(А) число собственных значений с учетом кратности оператора А, не превосходящих А. В 1913 году Г.Вейлем [36] был получен главный член асимптотики N(X) ~ аХп^т (т-порядок оператора, п-размерность многообразия М, на котором он действует) без оценки остаточного члена, и было сделано предположение о существовании второго члена асимптотики ЛГ(А). связанного с учетом граничных условий (для многообразия с

точек зрения.
Рассмотрим гамильтонову систему Т* ML, порожденную главным символом оператора V
' dx(t) = др1/2{х,
dt <9£ дЧ
д£(*) = др1/2(аг,£)
3£ За;
состоящую из четырех уравнений, (ж, £) — координаты в T*ML, индуцированные некоторой локальной системой координат в ML. Известно, что векторное поле Нрi/2 на T*ML, опеределяемое правыми частями в (1.9), не зависит от выбора локальных координат в ML.
Введем в рассмотрение гамильтонов поток Ft(x,^), являющийся множеством траекторий гамильтонова поля Hpi/2 (действие потока Fl{x, £), —схз В нашем случае, гамильтонов поток удовлятворяет следующим условиям [15]:
1. Все траектории гамильтонова поля Нрх/2 замкнуты и имеют наименьший общий период Т.
Таким образом, проекции траекторий Нрт (бихарактеристики оператора V) на ML являются простыми замкнутыми кривыми без самопересечений и при любых фиксированных (ж, £) поток F (х, £) периодичен по t с наименьшим периодом Т.
2. /3(Т, х, £) = /?о = constna Т*М {0}.
Здесь /?(Т, х,£) - сдвиг фазы для замкнутой траектории