Некоторые математические задачи динамики бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака

• Автор: Соболев, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
Введение

1 Бесконечномерные гамильтоновы и лагранжевы системы

со связями

1.1 Основные понятия и обозначения

1.2 Некоторые сведения из теории банаховых пространств

1.3 Построение СГД для лагранжевой системы с неголоном-

ными связями

1.3.1 Обобщенное преобразование Лежандра

1.3.2 Построение обобщенного преобразования Лежандра

1.3.3 Построение СГД

1.4 Соответствие между лагранжевыми и гамильтоновыми системами со связями
2 Процедура выявления связей
2.1 Процедура выявления связей
2.2 Классификация связей
3 Гипотеза Дирака
3.1 Конечномерные системы Гамильтона-Дирака
3.2 Формулировка гипотезы Дирака
3.3 Вспомогательные результаты
3.4 Доказательство гипотезы Дирака

Введение
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются математические задачи, связанные с гамильтоновой динамикой бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака (СГД), фазовыми пространствами которых являются бесконечномерные рефлексивные банаховы пространства. Систематическое развитие теории СГД началось с работы [18] П. Дирака, который называл их обобщенными гамильтоновыми системами; сейчас их чаще всего называют гамильтоновыми системами со связями. Используемое здесь название впервые появилось в работе [64] С. Альбеверио и О.Г. Смолянова. Оно кажется более подходящим, поскольку название "гамильтоновы системы со связями" ассоциируется с лагранжевыми системами со связями, тогда как в действительности СГД соответствуют лагранжевым системам с вырожденными лагранжианами (при этом, если гамильтониан СГД невырожден, то соответствующая лагранжева система не имеет связей), и, соответственно, лагранжевы системы со связями и с невырожденными лагранжианами соответствуют обычным гамильтоновым системам с вырожденными гамильтонианами.
В диссертации получено описание соответствия между СГД и лагран-жевыми системами (со связями) и исследована бесконечномерная процедура выявления связей. В частности, определено обобщенное преобразование Лежандра и исследованы его свойства, на основе обобщенного преобразования Лежандра построено соответствие между СГД и лагранжевыми системами, выяснены условия его существования и взаимной однозначности. Кроме того, для конечномерных СГД получено новое доказательство гипотезы Дирака; это доказательство применимо к классу СГД значительно более широкому, чем ранее известные доказательства.
Лагранжевы системы, введенные в конце восемнадцатого века, стали первым формализованным средством описания классических динамических систем. Гамильтонов формализм появился спустя примерно пятьдесят лет (в 1835 году), сейчас это хорошо развитая теория, имеющая большое число приложений (см. [66], [67] - [69], [83]). Класс СГД являет-

Введение

ся естественным расширением класса гамильтоновых систем. Хотя переход от гамильтоновых систем к СГД формально аналогичен переходу от лагранжевых систем к лагранжевым системам со связями, эти последние и СГД описывают совершенно различные аспекты динамики. СГД описывают такие динамические системы, которые имеют вырожденные лагранжианы. В связи с тем, что лагранжианы классических динамических систем невырождены, для их описания достаточно гамильтонова формализма. Именно поэтому теория СГД появилась лишь спустя примерно сто лет после появления гамильтоновой динамики, когда возникла необходимость работать с бесконечномерными динамическими системами полями (сами поля появились, конечно, намного раньше). Уже первая модель поля, описывающая электромагнитное поле, имела вырожденный лагранжиан, т. е. описывалась СГД.
По-видимому, впервые переход от вырожденных лагранжевых систем к СГД был рассмотрен еще в работе [54] Л. Розенфельда, в своей следующей работе [55] он использовал этот переход для квантования поля. Основателем же теории СГД считается П. Дирак, который первым в своей статье [18] изложил основы конечномерной обобщенной гамильтоновой динамики. Окончательную форму дираковский формализм СГД приобрел в его книге [20]; в ней же Дирак сформулировал свою гипотезу: все связи первого рода являются генераторами преобразований, не связанных с изменением физического состояния. Спустя год после работы Дирака [18] в статье [1] Д. Андерсона и П. Бергмана была построена ко-вариантная теория поля с квадратичным лагранжианом и конечным числом связей в каждой точке фазового пространства (естественным примером является электромагнитное поле). От аналогичных более ранних работ она отличалась тем, что поля в ней рассматривались уже в рамках развитого Дираком формализма СГД. Эта работа положила начало теории бесконечномерных СГД, поэтому в случае полевых моделей процедуру выявления связей Дирака часто называют процедурой выявления связей Дирака-Бергмана.
Одним из важнейших приложений гамильтонова формализма является его использование в процедуре квантования. Конечно, классическую динамическую систему можно квантовать и в лагранжевой формулировке (эго может быть полезным, например, при квантовании реляти-
Глава 1 Бесконечномерные гамильтоновы и лаграпжевы системы со связями
Тогда в окрестности,и точки (q°,p°,v0), где рдд = £'v01(d°’P2’vод)? у2 = Ф(я°Ло1)> решение ГЦФ обобщенного уравнения Лежандра имеет Р - параметризацию вида
Ро = (q,Pi,2),
< def (1.6)
{vi=vi(q,pli2,v0), v2 = v2(q,p1>2,vo) =Ф{чЛо + МяЛЦ2,Щ)),
где V — какое-то дополнение к Vq, Pq = {р Е Род : p(v) = 0 Vv 6 V}, функция v 1 удовлетворяет условию £,'Vi(q)p2,vo 4- v±(q,pip,vo)) = р и 4>{q,Pl,2) = £vo( Определим отображение v : Q x Pp x Vq V равенством
v(q,Pi,2,yo) = v0 +Mq>Pi,2,vo) +i>{q,v0 + vi{q,Pi,2,vo))- Отображение v удовлетворяет следующим соотношениям, которые непосредственно вытекают из рассуждений §1.3.2:
L'vM^(q^Pi,2,vo)) = ф{я,р 1,2)-
- (^0(9>'йод(д,Р1,2,ио))),:(Ьу2(д,й(д,р1,2,'Уо)) - Pi),
L'Vl{q,v(q,Pi,-2,Vo)) =pi- (1.7)
- (Фг1{д,уо^,Рц2,щ))У{^у2(д,и{д,Р1,2,и0)) - Pi),
&(q,v(q,Pi,2,vo)) = 0.
Теперь нетрудно построить СГД для лагранжевой системы (L, Р). Определим функцию Tl : Q х Р х V -Е R равенством 'H(q,p,v) — p(v) — L(q, v), а функцию TL : Q x P x Vq —1 I равенством TL(q,p, vq) = 'H(g,p,v(q,pi.2, vo)). СУГД для функции P, называемой далее обобщённым гамильтонианом, имеет вид
( q(t) =Hp(q(t),p(t),Vo(t)), p(t) = -n'Q(q(t),p(t),v0(t)),
y-v0(d{t),p{-t),vo(t)) = 0.
Далее мы построим СГД, которой соответствует этот обобщенный гамильтониан, а сейчас установим взаимно однозначное соответствие между решениями СУЭЛ (1.1) и СУГД (1.8). Определим отображение pi : Q х Год х Р2 -> Pi равенством Pi(q,v0tl,p2) = LoVl(q,v0,i) -(i’y (q,voj))*p2i при фиксированных q, р2 и vq оно является обратным к отображению щ, то есть vi(q,p2 + pi(q, Voti,p2), щ) = v.