Регуляризованные следы и спектральные асимптотики обыкновенных дифференциальных операторов

• Автор: Печенцов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 213 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Регуляризованные следы краевых задач в случае кратных корней характеристического полинома
1.1 Формальные решения. Диаграмма Пюизо
1.2 Формальные решения в случае двукратных корней
характеристического полинома
1.3 Асимптотические разложения фундаментальной системы решений
1.4 Характеристический определитель краевой задачи
1.5 Дзета-функция, ассоциированная с функцией А(А)
1.6 Аналитическое продолжение дзета-функции
г (а) во всю <т-плоскость
1.7 Регуляризованные суммы корней функции А(А)
1.8 Регуляризованные следы для краевой задачи второго
порядка
1.9 Двукратное разложение по собственным функциям
краевой задачи второго порядка в случае кратного корня характеристического полинома
Дополнение
2 Следы для одного класса сингулярных операто-

2.1 Характеристический определитель оператора
2.2 Асимптотическое разложение характеристического определителя при А —> оо
2.3 Асимптотический ряд длл собственных значений
2.4 Дзета-функция Z(a)
2.5 Метод Лидского-Садовничего аналитического продолжения дзета-функции Z(a)
2.6 Дефект регуляризации в случае простейших краевых условий
Дополнение
3 Концентрация спектра для одного семейства сингулярных операторов
3.1 Асимптотика производной спектральной меры р(А, е) оператора L(e) при А <
3.2 Асимптотика //(А,а) при А>0
3.3 Дельтаобразное семейство р' (А, е) на отрицательной полуоси
3.4 Концентрация спектра семейства операторов L(e)
Список литературы

Введение
В 1953 г. И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан [17] получили формулу
£(А.-„») = -£М±®М, (1)

где - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:
( ~у" + 9 {х)у = А у,
{ у(0) = у{тг) = 0 , д(х) - вещественная дифференцируемая на отрезке [0,7г] функция,

причем Jg(x)dx
Формула (1) стала называться регуляризованным следом оператора Штурма-Лиувилля и послужила источником многочисленных работ. Л.А. Дикий [22], [23] и И.М. Гельфанд [18] для оператора Штурма-Лиувилля вычислили регуляризованные следы всех порядков, т.е. суммы вида

]Г (А™ ~ ДДя,)) тек, (2)

Ат{п) - вполне определенные числа, предъявляемые по асимптотике собственных значений п по степеням п при п -> оо и обеспечивающие сходимость рядов.
Л.Д. Фаддеевым и B.C. Буслаевым [8], [9], [89] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.
системы решений уравнения (1.1), потребуем бесконечную дифференцируемость на [0, 1] функций Paß{x)
J1. Шлезингер [71] построил асимптотические разложения фундаментальной системы решений уравнения (1.1) на некотором фиксированном луче arg Л = а при Л -д со . Г. Биркгоф [4], [5] обобщил результат Л. Шлезингера на некоторый сектор в < arg Л < ф комплексной плоскости и использовал эту асимптотику фундаментальной системы решений уравнения (1.1) для разложимости функции в ряд по собственным функциям краевой задачи
Затем Я.Д. Тамаркин [72] распространил результаты Л. Шлезингера и Г. Биркгофа на системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Из результатов Я.Д. Тамаркина следует: если характеристический полином
не имеет кратных корней на отрезке [0, 1], то всю комплексную плоскость А можно разбить на конечное число секторов 5і, бф > З'щ , т < п , в каждом из которых уравнение (1.1) имеет фундаментальную систему решений Уі(х} А) , і = 1, тг, со специальной асимптотикой:
где , со2,
П(сс) — ша + Piq(x)uu 1 + + Рац(х)шп ° + + Рпо(х) (1.4)

(1.5)