Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов

• Автор: Шабозов, Мирганд Шабозович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1996
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 215 с.

9 -СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Приближение дифференируемых функций двух переменных билинейными сплайнами

§1.1. Классы функций. Определение билинейных сплайнов.

Вспомогательные факты

§1.2. 0 погрешности интерполяции билинейными сплайнами

в каждой точке области

§1.3. Точные оценки погрешности интерполяции билинейными . : сшюянами на классах функций

§1.4. Точные оценки одновременного приближения функций и их

производных интерполяционными билинейными сплайнами

Глава II. Точные значения квазипоперечников некоторых функциональных классов

§2.1. Постановка задач о вычислении квазипоперечников

§2.2. Точные значения квазипоперечников в Ъг для
некоторых классов функций
§2.3. Точные значения квазипоперечников для классов
* дифференцируемых функций в С
§2.4..Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа . Гильберта
Глава III. Восстановление значений линейных операторов, определяющих решение некоторых краевых задач
§3.1. Постановка краевых задач
§3.2. Некоторые свойства ядер Kp(t) и ФрШ
§3.3. Наилучшее приближение ядер Kp(t) и Фр(t)
тригонометрическими полиномами в метрике L1

§3.4. Наилучшев одностороннее приближение ядер
• K()(t) и Фр(*; в метрике Ъ1
§3.5. Восстановление решения краевых задач Дирихле
и Неймана с помощью тригонометрических полиномов в метрике Ър
§3.6. О восстановлении решения краевых задач
по усреднённым значениям граничных функций
§3.7. Оптимальное кодирование и восстановление операторов решения краевых задач по заданной информации о граничных функциях
§3.8. Восстановление решения краевой задачи
1ф Дирихле для шара
Глава IV. Оптимизация квадратурных и кубатурных формул на классах функций малой гладкости
§4.1. Постановка экстремальной задачи теории квадратур.
Классы функций
§4.2. Об одном подходе к исследованию оптимальных
квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью
§4.3. Оптимизация квадратурных формул для класса

§4.4. Наилучшие кубатурные формулы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью
для классов ти1Г(и1)Ъ

§4.5. Наилучшие квадратурные формулы для классов Н и Н
§4.6. Наилучшие кубатурные формулы с весом для
классов й“ (С)
ЛИТЕРАТУРА

К настоящему времени в теории приближения глубоко и тщательно исследованы задачи, связанные с аппроксимацией функций одной переменной. По этой проблематике, берущей свое начало от основополагающих .работ Вейерштрасса и Чебышева, написаны десятки монографий (см..,например,И.П.Натансон (74],В.Л.Гончаров [39],Н.И.Ахиезер [4],
А.Ф.Тиман [941,С.М.Никольский [77], Н.П.Корнейчук [50,53,54], В.К. т Дзядык [431,В.М.Тихомиров [95], Р..Г.Пач1з [1001, О.О.ЬогепЬг [107]
и другие).
Особую роль сыграли пионерские работы А.Н.Колмогорова и С.М. Никольского, связанные с решением экстремальных задач, когда надо . найти точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном классе функций и указать для этого класса наилучший аппарат приближе-. , ния фиксированной размерности. Усилиями многих математиков и, в первую очередь, учеников и последователей Колмогорова и Никольского, такие задачи решены в одномерном случае для наиболее употреб-
• — ■ ■ ■ • -■
ляемых классов функций. Однако оказалось, что разработанные методы
иногда существенно используют одномерную специфику и не срабатывают при исследовании экстремальных задач на классах. функций двух и большего числа переменных.
. Поэтому естественно, что в последнее время внимание многих -специалистов, работающих в области теории аппроксимации, обращено на экстремальные задачи приближения в многомерном случае.
. Другое направление, которое сейчас интенсивно разрабатывается, . возникло на стыке теории приближения и численного анализа. Оно свя-^ . зано,во-первых, с оптимизацией приближенного интегрирования, а во-

(b-x) • (х-а) (i1-у) • (у-с)
< —ь - а -ы(Т;Ъ-а,0) + —3-1-с—'W(f;o,d-c). (1.2.3)
, I (Ъ-х)(х~а) (d-y) (у-с) г г
F-(x,y) « —г: 5 • о) (/,-t,i;dtdi <
I 2 I fb-a) •(d-c) J J *
.Ь-a d-c
(b-ar* (d-c)
О О
(Ъ-х) • (х-а) (Л-!/). (у-с)
< . ь~-~а--’--3~=Гс •^(ЛЬ-а.й-с;, (1.2.4)
гЗе ш(/;1,о; и ш(/;0,1;- частные ходули,непрерывности функции /, а м#(/;1,1; - лоОулъ непрерывности, определенный равенствах (1.1.4).
Доказательство. Сначала докажем (1.2.3). Зафсссируем (х,у)еЯ и определим функции р(1) и 0(1) равенствами
в(1) = о<ККр(«<Ь, (1.2.5)
= 9(0(1;;, с « 1 «£ у < 0(1) « й, (1.2.6)
где функции g(t) ид(т) определены соотношениями
г г Ь-х, а < и < х,
*(*; = <р(п;аи, <р(и) = Г (1.2.7)
£ Д. а-х, " х < и < Ь,
г ” ~ Г Й-У» с < V < у,
д(т; = Ф(и;аи, Ф(у; = { - (1.2.8)
Д I С-у, у < У < d.
- В [50,с.195] доказано, что функции p(t) и 0(1), определённые в (1.2.5) и (1.2.6), на указанных отрезках абсолютно непрерывны и для них почти всюду выполняются равенства
8'(t) = g'(P(t))'P'(t), a g'd; = 9*( o(i;;-o'(t;, с<ку. (1.2.10)
Из (1.2.9) и (1.2.10) с учётом (1.2.7) и (1.2.8) следует, что