Регуляризация неустойчивых задач в топологических векторных пространствах и конечномерная аппроксимация

• Автор: Менихес, Леонид Давидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 195 с.

1 РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1.1. Основные определения и простейшие свойства регуляризуемости
1.2. Регуляризуемость и тихоновская регуляризуемость
1.3. Свойство С и линейная регуляризуемость
2 КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТИ
2.1. Критерий линейной регуляризуемости в терминах теории двойственности
2.2. Регуляризуемость в полурефлексивных пространствах
2.3. Случай банаховых пространств
3 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РЕГУЛЯРИЗУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
3.1. Спектральные операторы скалярного типа
3.2. Спектральные операторы конечного типа
3.3. Один метод построения подпространств в С*(0,1) с различной характеристикой
3.4. Интегральные операторы

4 КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЗАДАЧ
4.1. Критерий сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки
4.2. Метод регуляризации
4.3. Метод L-регуляризации
4.4. О сходимости аппроксимаций в методе М.М.Лаврентьева144
5 КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н.ТИХОНОВ А n-го ПОРЯДКА
5.1. О сходимости конечномерных аппроксимаций по различным метрикам
5.2. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к ре-гуляризованному решению
5.3. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению
ЛИТЕРАТУРА

Теория регуляризуемости отображений возникла в связи с решением некорректно поставленных задач. В своей книге [151] Ж. Ада-мар сформулировал условия, которым должны удовлетворять постановки задач для уравнений с частными производными, чтобы эти задачи имели физический смысл. В абстрактной постановке для уравнения
Ах = у, (0.0.1)
где X, У - метрические пространства, А : X —» ¥ - некоторое отображение, эти условия принимают следующий вид:
1) для любого у Е У существует х £ X такой, что Ах = у (существование решения);
2) если Ах 1 = Ах2, то х — х2 (единственность решения);
3) решение уравнения (0.0.1) непрерывно зависит от у £ У, т.е. отображение А~1 непрерывно (непрерывная зависимость решения от исходных данных).
Задачу решения уравнения (0.0.1), для которого не выполняется какое-нибудь из сформулированных условий, после Ж. Адамара стали называть некорректно поставленной задачей или просто некорректной задачей. Наиболее важным случаем некорректных задач является случай, когда не выполняется условие 3), т.е. решение не является непрерывной функцией исходных данных. В этом случае будем данную задачу называть неустойчивой задачей.
Ж. Адамар полагал, что только задачи с непрерывной зависимостью решения от исходных данных могут иметь физическую интерпретацию. Однако на практике большое распространение имеют именно задачи, в которых нет непрерывной зависимости ре-

базисное по базису 1А подпространство.
Доказательство сразу следует из теоремы 2.1.1 и теоремы 1.3.1.
Теорема 2.1.4. Пусть X, У - метризуемые локально выпуклые пространства, А : X —>• У - линейное уплотнение, Ы,Ы - базисы фильтров окрестностей нуля в X и У соответственно. Тогда для того, чтобы Л-1 было линейно регуляризуемо по базису Ы необходимо, а в случае АХ дополняемо в У и X полно, достаточно, чтобы А*У* С X* было добазисным по базису Ы подпространством.
Доказательство сразу следует из предложения 2.1.2 и теоремы 1.3.1.
Таким образом, теорема 2.1.3 и теорема 2.1.4 дают критерии линейной и конечномерной линейной регуляризуемости в терминах теории двойственности.
2.2. Регуляризуемость в
полурефлексивных пространствах
Хорошо известно [84], что в случае банаховых пространств, любое линейное уплотнение из квазирефлексивного (в частности, рефлексивного) пространства со свойством ограниченной аппроксимации имеет конечномерно линейно регуляризуемое обратное отображение. В случае ненормируемых метризуемых пространств это уже не так. В конце этого параграфа мы приведем соответствующий пример. Сейчас мы введем новое более слабое понятие регуляризуемости и покажем, что это понятие регуляризуемости обладает свойством, аналогичным банахову случаю.