Рациональные приближения непрерывных функций

• Автор: Буланов, Александр Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 240 c. : ил

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ

ФУНКЦИЙ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ

§ I. Леммы

§ 2. Оценка приближения произвольной непрерывной

выпуклой функции сверху

§ 3. О точности полученной оценки

Глава II. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ МОДУЛЕМ

НЕПРЕРЫВНОСТИ

§ I. Доказательство теоремы

§ 2. Доказательство теорем 4 и 4а

Глава III РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ С КОНЕЧНЫМ ПОЛНЫМ

ИЗМЕНЕНИЕМ
§ I. Построение разложения единицы в сумму рациональных функций
§ 2. Основная лемма
§ 3. Оценка сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным изменением
§ 4. О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим
$ 5. Следствия
§ 6. Рациональные приближения кусочно выпуклых
функций
$ 7. О разложении единицы в сумму рациональных
функций многих переменных
ЛИТЕРАТУРА
Работы автора по теме диссертации

Работа посвящена оценкам для наименьших равномерных заслонений выпуклых функций и функций с ограниченным изменение от рациональных функций.
Введем обозначения. Пусть ^(9С) - действительная непрерывная функция, заданная на отрезке А*=[о.,ё] действительной оси, и Я* (х)- рациональная функция от X , несократимая запись которой есть
р рА
а09с+аг% +‘'<+ар
6ІХ9'І+-+6Ч,
где С1 л - действительные числа; причем (Х^ и ^ отличны от нуля. Число^называется степенью (порядком) рациональной функции /? СХ) •
Через /?я Г^4]=/?я Гf] будем обозначать наименьшее уклонение непрерывной функции ^(Х), ХєА , от рациональных функций степени не выше ТІ в чебышевской метрике С (А) :
где пробегает все рациональные функции степени не выше Ті. Беря здесь ІП^Ітіїт не по всем рациональным функциям , а только по действительнозначным алгебраическим полиномам степени £/-} , получим определение - наименьшего
уклонения фзшкции ^ на отрезке А от полиномов степени не выше ТІ . Очевидно всегда Яп Еп [f] .

Здачи оравномерном приближении функции на отрезке посредством полиномов и рациональных функций были поставлены одновременно.
опубликованном в 1859 г. (см
199-291). С тех пор равномерные приближения называют также че< -бышевскими приближениями. Одним из основных результатов, изложенных в этом мемуаре было доказательство теоремы о единственности рациональной функции наилучшего приближения. Отсюда, в частности, вытекает единственность полинома наилучшего приближения для рассматриваемой непрерывной функции.
В 1877 году Е.И.Золотарев в мемуаре [3] получил замечательные результаты, касающиеся рациональных приближений. В частности, им была поставлена и решена задача (см. [3],1У задача) , которая может быть сформулирована следующим образом: из всех несократимых дробей данной степени найти ту, которая наименее уклоняется от функции $1^(1 % на множестве Ш)-
, где 6 - заданное число, 0 <<5^1 , и найти величину этого уклонения. В частности, им было найдено точ-
$П И - эллиптическая функция с модулем Л (см. [з] и
Это было сделано Пафнутием Львовичем Чебышевым в мемуаре [I] ,
(I)

- полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем -Л ,

Доказательство. Если И?/10 и ^еТб^ г-77] « то
и $2,0
величины (1 ~ 1,2мы определяем выражением (1.1.19) а натуральное число £ по формуле (1.1.26).Во всех остальных случаях, т.е. при -Т17/М и и при ^^-5 и
<Гф~П,*) полагаем Убедимся вначале, что «5^(°0 монотонна на П<г] • Очевидно,

-4(2
■П *•*
V (' 1=1 4 ^чг лу 'к
'кФг
’1+ _£е*Л
Рсх) )
Из этого выражения видно, что прифункция ^ (ОС.) не меняет знака.
Докажем неравенство (1.1.44). Функции 5И/^ПХ и В^СХ.) являются нечетными, поэтому достаточно доказать неравенство (1.1.44) для отрезка Г
4г В~СС
ш1-П

£{+Х
■“л
[д11].
(1.1.45)