Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши

• Автор: Хайруллина, Лилия Эмитовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 103 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ НА ОТРЕЗКЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
§1 . Случай решения, неограниченного на обоих концах
1.1. Корректная постановка задачи на паре пространств (Xp,Yq),
Р(0 = =р q(t) = >ll-t2
1.2. О приближениях полиномами в пространстве Yq
1.3. Общий проекционный метод
1.4. Метод ортогональных многочленов
1.5. Метод коллокации
1.6. Метод подобластей
1.7. Метод механических квадратур
1.8. Проекционно-итеративный метод
1.9. Об устойчивости и обусловленности приближенных методов
§2. Случай решения, ограниченного на обоих концах
2.1. Корректная постановка задачи на паре пространств (Xp,Yqj,
pit) - y/l-t2 , q(t)
VI-/2
2.2. Конструктивные оценки в пространстве Yq
2.3. Равномерные оценки погрешности прямых методов
2.4. Аппроксимативно-итеративный метод
2.5. О сходимости невязок приближенных методов
§3. Случай решения, ограниченного на одном конце и неограниченного на другом

3.1. Корректная постановка задачи на паре пространств (Хр,У), р = у >

3.2. О приближениях интерполяционными полиномами и отрезками рядов Фурье в пространстве ¥
3.3. Проекционные методы и их обоснование
ГЛАВА II. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
§1. Класс решений, ограниченных на двух смежных сторонах квадрата
[-1; I]2 и неограниченных на двух других его сторонах
1.1.0 корректности задачи
1.2. Элементы теории приближения рядами Фурье по ортогональным полиномам
1.3. Метод ортогональных многочленов
§2. Класс решений, ограниченных на одной стороне квадрата [-1; 1] и неограниченных на трех других
2.1. Об обратимости сингулярного оператора
2.2. Метод моментов и его обоснование
§3. Класс решений, ограниченных на трех смежных сторонах квадрата [-1; I]2 и неограниченных на другой его стороне
3.1. Корректная постановка задачи
3.2. Метод ортогональных многочленов и его сходимость
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена теоретическому обоснованию в пространстве непрерывных функций приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром Коши

к<р = - [~(1т + - [ к(г,т)<р(т)& = /(*), |*| < 1, (о.1)
7Г J Т - I 7Г У

/у а’г)(фг)г = 1®| < -1» 1*1 < 1; (°-2)

где ЛД, т), бфз, £, сг, т), Л,у(в, I) - известные непрерывные функции в своих областях определения, у?(т), ф(сг, т) - искомые функции, а сингулярные интегралы (с.и.)
=/(„;*) = 1£4Й*
(«г-1)(т-*)'*’*

понимаются в смысле главного значения по Коши.
Сингулярные интегральные уравнения (кратко: с.и.у.) вида (0.1), (0.2) находят широкое применение в задачах теории упругости, аэродинамики, электродинамики, теории автоматического управления, квантовой механики и других областях математической физики и техники (см. [4, б, 23, 26-28, 32, 33, 41, 45, 52 - 55, 58] и библиографию в них).
Теория таких уравнений достаточно хорошо разработана. Она изложена в известных монографиях Н.И. Мусхелишвили [48], Ф.Д. Гахова [18], Гох-берга И.Ц. и Крупника И.Я. [19], Пресдорфа 3. [57]. Из этой теории следует, что найти точное решение с.и.у. (0.1) и (0.2) в замкнутой форме удается

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия:
а) с. и. у. (1.1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части /(£) из Уч;
б) ядро ЛД, т) таково, что оператор V : —> Уд вполне непрерывен;
в) операторы — Рп и Рп —> Е сильно в Уд, где Е :Уд —>Уд - единичный оператор.
Тогда, начиная с некоторого п 6 N, аппроксимирующие уравнения также однозначно разрешимы и приближенные решения х*п = К~1Рп/ сходятся к точному х* = К~1 / со скоростью
где Р означает, что оператор Рп применен к h(t, т) по переменной t.
Доказательство. Оценим близость точного оператора К и аппроксимирующих его операторов Кп. С этой целью для любого хп Є Нп находим
\Кхп Кпхп\уя = || РпУ%п\уя
здесь через ||/&||у®с обозначена норма функции Ыб т) по первой переменной в пространстве Уд и по второй переменной в пространстве С.
Тогда в силу условий теоремы имеем
Следовательно, на основании теоремы 7 главы I [13] для всех п Е IV, для которых выполнено неравенство
уравнение (1.21) однозначно разрешимо. Кроме того, по условию теоремы имеем
< \h - Рп\уя®с\хп\с < IIh - РЖ,М
\К — Кп\нпу„ 0, п —> оо.
(1.22)
\к 1\учхр\К - Kn\Hn-yyq <
II/ - Pnf\yq -> 0, п -> оо,
(1.23)