Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов

• Автор: Долгих, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 110 с.

1 Спектральные свойства дифференциальных операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями произвольного порядка

1.1 Основные понятия и факты

1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения

1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифферен-циальиые выражения

1.1.3 Операторы Ьц и Д. Индексы дефекта оператора

1.1.4 Регулярные и иррегулярные точки линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений

1.2 Преобразование основного уравнения

1.3 Случай аналитических коэффициентов

1.4 Случай неаналитических коэффициентов

1.5 Пример
2 Дефектные числа одночленного иррегулярного дифференциального оператора четного порядка
2.1 Основные понятия и факты
2.2 Случай аналитического коэффициента с одинаковым порядком нуля
2.2.1 Фундаментальная система решений дифференциального уравнения /2т,+ [у] =
2.2.2 Определение значения выражения [/,д](+0)
2.2.3 Основная теорема об индексе дефекта
2.3 Случай аналитического коэффициента с разными порядками
нуля
2.4 Заключение
Литература

Исследование спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов является одной из важных задан математического анализа. Постепенно выясняется, что для подробного изучения этого круга вопросов следует рассматривать отдельные классы дифференциальных операторов, выделенных по тем или иным признакам. Исследованиям в данной области посвящены работы многих авторов. Например, вопросам нахождения индекса дефекта и спектра дифференциальных операторов в зависимости от поведения их коэффициентов большое внимание уделено в книгах Н.И.Ахиезера и И.М.Глазмана [2], Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца [5], М.А.Наймарка [15].
В данной работе рассматриваются дифференциальные операторы, порожденные квазидифференциальными выражениями 1п произвольного (чётного или нечётного) порядка. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выражения 1п такие, что если уравнение 1пу = у свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, то полученную систему удаётся преобразовать к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х — 0. Кроме того, мы рассматриваем дифференциальные операторы, порожденные некоторыми иррегулярными дифференциальными выражениями.

Учитывая оценки теоремы 1.1.2 для п+ и п_, получаем, что если п = 2т, то п+ — п_ = т; если же п = 2т + 1, то п+ = т, п_ = т + 1.
Таким образом, второе утверждение теоремы доказано.
Используя равенства (1.11) и (1.9), можно показать, что функция Грина любого самосопряженного расширения оператора То является ядром Гильберта - Шмидта и мероморфной функцией от Л. Из этого следует дискретность спектра любого самосопряженного расширения.
Теорема 1.3.1 доказана.
Результаты этого параграфа опубликованы в работе Долгих И.Н., Мир-зоева К.А. [12] и частично в работе Долгих И.И. [8].
1.4 Случай неаналитических коэффициентов
В этом параграфе доказывается аналог теоремы Орлова для класса дифференциальных операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями, введенными в параграфе 1.2, коэффициенты которых не являются аналитическими функциями, однако удовлетворяют некоторым дополнительным условиям в нуле.
В данном параграфе мы будем опираться на следующую лемму (см. [13, гл. III, задача 35, стр. 120))
Лемма 1.4.1 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
и1 — Ли + !?(<)(/, (1.13)
где матрица А постоянна, жорданова форма матрицы А имеет жорда-новы клетки Зь, к > 1, и максимальное число строк для всех клеток Д,