Экстремальные задачи для квазиконформных и квазиконформных в среднем отображении

• Автор: Гейнеман, Владимир Эдмундович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 65 c. : ил

ГЛАВА 1. Отображения, квазиконформные в среднем

§ 1. Основные обозначения и определения. ... 10 § 2. О равностепенной непрерывности класса
отображений, квазиконформных в среднем. . 16 § 3. Отображения с неограниченными на компактГлава II. .Экстремальные задачи на различных мноных множествах характеристиками

кествах квазиконформных отображений

§ 1. Экстремальные задачи на множестве

§ 2. Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном

ЛИТЕРАТУРА,

смысле характеристикой

Понятие квазиконформного отображения введено Г.Гречем в 1928 году и связано с известной задачей Греча. Идея Греча была воспринята как любопытная и предана забвению. Квазиконформные отображения вновь появились в 1935 году в работах М.А.Лаврентьева, Л.Альфорса ( 1936 г.) и 0.Тейхмюллера (1937 г.). Особенно интенсивное развитие теории квазиконформных отображений на плоскости началось в конце 40-х начале 50-х годов, а в начале 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений. Наиболее существенный вклад в развитие теории квазиконформных отображений внесли советские, польские, румынские математики, математики ГДР, а также американские и финские математики. Из советских математиков основной вклад принадлежит школе М.А.Лаврентьева.
Наряду с квазиконформными отображениями рассматривались отображения, квазиконформные в среднем. Так как класс таких отображений существенно шире(Класса квазиконформных отображений, то их изучение представляет несомненный интерес.
Здесь можно отметить работы Л.Альфорса [2], Г.Д.Суворова[21] , П.П.Белинского [4], В.А.Зорича Г15 , 16 ] , И.Н.Песина [23] , С.Л.Крушкаля [18], В. М. Шклюкова [21] , П.А.Билуты [7] , М.Перовича [22]
На протяжении всего времени изучения квазиконформных отображений рассматривались и решались экстремальные задачи в различных классах квазиконформных отображений. К числу основных экстремальных задач относятся две общие задачи.
Задача А. В заданном классе квазиконформных отображений найти отображение с наименьшим максимльным отклонением.

Задача В. В заданном классе квазиконформных отображений т найти максимум действительного функционала Fff) , определенного на этом классе.
Вторая задача обобщает первую, но задачу А удобно выделить отдельно. Задача в формулировке В восходит к П.П.Белинскому, хотя и первоначальная задача Греча является по существу задачей такого же типа. П.П.Белинскому также принадлежит вариационный метод, являющийся основным методом решения экстремальных задач. В этом направлении отметим работы
С.Л.Крушкаля [19] , В.Я.Гутлянского [13] , П.А.Билуты [7] , Р.Кюнау [37 , 38]
Диссертация посвящена решению экстремальных задач в некоторых классах квазиконформных отображений и изучению свойств плоских отображений, квазиконформных в среднем.
Работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы и изложена на страницах машинописйого текста. Список литературы содержит наименований советских и зарубежных авторов.
В первой главе выделены два класса отображений, квазиконформных в среднем. В классе Н<*. ( М ) имеют место теорема о равностепенной непрерывности и теорема искажения расстояний. В классе НЛМ.П - теоремы о равностепенной непрерывности, замкнутости и существования.
В § 1 даны основные обозначения и определения.
В & 2 вводится класс ИЛИ) гомеоморфных отображений Х/ - -f ( 2 ) , -f > f £ Ä/z ] ёос. об ласта S3 , удовлетворяющих следующим условиям:
1) ^ р(2) с(б2 ± W - c,On-st < ,

конформных отображений с ограниченной характеристикой Ijm I £ < К- = COKSt <■ і , то, как было показано, для экстремального отображения ljul - K. , QJify А0(ф) = ± J
Следовательно, характеристики отображения, достав-± + к
ляющего минимум ^5 = Zc і~к являются
ПА,- К , 0=6,,
±~к
а отображения, доставляющего максимум = Ьех+К
ljul = /1 , 0 - 6^ -в
Эти результаты совпадают с уже известными результатами Г. Греча.
Если рассматривать задачу в классе квазиконформных отображений с 9 ~ О0 - CX)h-'b't , lju J 6 K. - < і ,
то получим, что экстремальное отображение имеет характеристики
ljul = К. , 0 - 0 о .
что согласуется с результатами Р.Кюнау для прямоугольников.
§ 2. Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном смысле характеристикой
В этом параграфе будем рассматривать гомеоморфные отображения nx/- -FCZ-) круга Ъ I й 1 на круг lx/l*i $(0) = 0 , , ■? ,-f £ Х/д* с ограниченными
интегралами