Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений

• Автор: Еникеева, Светлана Рашидовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Предварительные результаты
§1. Некоторые результаты из общей теории приближенных
методов анализа
§2. Некоторые результаты из теории приближений многочленами
§3. Некоторые соотношения из теории классических ортогональных многочленов
§4. Об интерполяционной квадратурной формуле
§5. Квадратурная формула для логарифмического интеграла
I(t)
5.1. Вывод квадратурной формулы
5.2. Алгоритм вычисления интеграла Io(t)
5.3. Вычисление последующих интегралов Im(t)
§6. Сходимость и оценка остаточного члена квадратурной формулы
§7. Некоторые частные случаи
Глава II. Прямые методы решения слабосингулярного интегрального уравнения второго рода
§1. Введение
§2. Вычислительные схемы метода квадратур
§3. Вспомогательные результаты
§4. Сходимость метода квадратур в среднем
§5. Сходимость метода квадратур в узлах
§6. О равномерной сходимости метода квадратур
§7. Некоторые дополнения
7.1. Первый случай
7.2. Второй случай
7.3. Третий случай
7.4. Четвертый случай
§8. Полиномиальные проекционные методы
§9. Метод Боголюбова — Крылова

9.1. Введение
9.2. Метод сплайн-коллокаций нулевого порядка
9.3. Метод Боголюбова — Крылова
Глава III. Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода
§1. Введение
§2. Некоторые свойства слабосингулярного оператора
§3. Метод наименьших квадратов
§4. Метод ортогональных многочленов
§5. Метод коллокаций
§6. Метод последовательных приближений
§7. Метод механических квадратур
§8. Некоторые замечания и дополнения
8.1. Структура обратного оператора и корректная постановка задачи
8.2. Прямые методы решения регуляризованных уравнений
Литература

Введение
Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики, химии и техники приводят к необходимости решения различных классов интегральных уравнений первого и второго родов с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора (см., напр., работы [8, 10, 28, 32, 35, 40, 47, 61, 65, 67, 68, 70, 82, 83, 97] и библиографию в них). Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана (см., напр., [10, 29, 46, 60, 65-67, 72, 73, 83, 87, 94] и библиографию в них). Из нее следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо уметь вычислять различные регулярные, сингулярные и слабосингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.
В последние 20 - 25 лет в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов; достаточно полную информацию о достигнутых в этой области результатах можно найти, например, в монографиях [7, 10, 21, 22, 28, 35, 40, 47, 61, 65, 68, 70, 97], работах обзорного характера [17, 23-25, 27, 30, 84-86, 90, 93, 96], а также в диссертациях [1, 3, 6, 31, 32, 36, 37, 64, 76, 83].
Следует отметить также, что систематическому целенаправленному исследованию приближенных методов решения различных класов слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством Б.Г.Габдулхаева (см., напр., работы, в том числе диссертации, [1, 2, 3, 6, 15, 17-27, 31, 36, 37, 64, 76] и библиографию в них). Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остает-

Тогда с учетом неравенств |ТЦ£)| <1, — 1 < £ < 1, и известного равенства
1 7Г
&Р = ¥
имеем
+11п2 |т — Ц .. «
/ у dr ||с[-ід]< Е <*1°к
_j Vl-¥z fc
/7т- 00 а 00 1 7Г2 7Г
= т In2 2 + - Е тт = 2 + 2?г Е 73 = 1П 2 + 27Г- — = 7гЬ 2 +
2 fc=iя fc=i bo
Таким образом, в рассматриваемом случае оценка остаточного члена имеет вид

|| R„{x,t) ||c[-i,i]< 2тг(1п22 + у)1/2 En-i(x)c{-i,iy Рассмотрим случай
б)а = Р = 1/2.
Квадратурная формула для этого случая имеет вид

I (1 - т2)1/2ж(т) In |т - i| dr = — Е (1 - т1)х(тк) х
_! ГС + 1 fc=l
п о r2(t) Tm+1(t) ктг
х 1п2 Е Y + tY -1 f)> rk
2 mT2 m — 1 га + 1 / гс +
Так как J /1 — т2 dr = f, то оценка остаточного члена запишется
следующим образом:
Г +1
||ігп(ж,і)||с[-ід] < V27rEn-i(x)C[-i,i] j II f Vl-т2 In2 |r - t| гіг||с[_ід] j
Используя неравенство

f Vl — г2 In2 |t — t dr < f —, dr, — 1 < t < 1,
J у/1